Die Homotopie der Sphären: Eine Einführung in Spektralsequenzen, Lokalisierungen und Kohomologie-Operationen

Dieses Lehrbuch bietet eine grundlegende Einführung in Spektralsequenzen und spezielle Kohomologieoperationen (auch bekannt als Steenrod-Squares). Als Motivation für die schwierige Materie dient dabei ein zentrales Ziel des Buches: die bahnbrechenden Resultate von J.-P. Serre über höhere Homotopiegruppen der Sphären, für die er 1954 die Fields-Medaille erhielt. Auf dem Weg dahin liegen weitere Teilbereiche der algebraischen Topologie wie Lokalisierungen, Faserungen über TCW-Räumen (Theorem von Milnor) oder die äquivariante Homologie und Kohomologie. Voraussetzung für die Lektüre sind zwei Semester algebraische Topologie. Der Text ist daher gut geeignet für interessierte Studierende ab dem fünften oder sechsten Semester im Bachelor Mathematik oder in einem mathematischen Masterstudium. Vorwort Teil 1 – Motivation und Präliminarien Teil 2 – Spektralsequenzen und das allgemeine Theorem von Serre Teil 3 – Lokalisierungen und Kohomologieoperationen Danksagung Inhaltsverzeichnis Teil 1 Motivation zum Thema, einige Präliminarien und eine Einführung zu Faserungen 1 Einleitung und Motivation 1.1 Sphären in euklidischen Räumen 1.2 Homotopiegruppen in der algebraischen Topologie 1.3 Das Jahr 1930: Die große Entdeckung von Heinz Hopf 1.4 Der Suspensionssatz von Freudenthal 1.5 Der Weg zu den Resultaten π4(S3) = Z2 und π5(S3) ≠ 0 Aufgaben und Wiederholungsfragen 2 CW-Komplexe und zelluläre Homologie 2.1 Zelluläre Strukturen 2.2 Zelluläre Homologie 2.3 Weitere Resultate und Beispiele zur zellulären Homologie Aufgaben und Wiederholungsfragen 3 Eilenberg-MacLane-Räume und Moore-Räume 3.1 Die Existenz von Eilenberg-MacLane-Räumen 3.2 Die Eindeutigkeit von Eilenberg-MacLane-Räumen 3.3 Linsenräume als Beispiele für den Typ K(Zm,1) 3.4 Moore-Räume, Existenz und Eindeutigkeit Aufgaben und Wiederholungsfragen 4 Faserungen über CW-Komplexen 4.1 Hurewicz-Faserungen 4.2 Die Faserung einer stetigen Abbildung 4.3 Parakompakte Räume 4.4 Das Theorem von Milnor über TCW-n-Tupel Aufgaben und Wiederholungsfragen 5 Zelluläre Kohomologie und Produkte 5.1 Zelluläre Kohomologiegruppen und Produkte 5.2 Das Kreuzprodukt in der singulären Kohomologie 5.3 Das Kreuzprodukt in der zellulären Kohomologie 5.4 Die Homologie und Kohomologie von Produkträumen 5.5 Die Tor-Ext-Adjunktion für injektive Gruppen Aufgaben und Wiederholungsfragen Teil 2 Spektralsequenzen und das allgemeine Theorem von Serre über die Gruppen πk(Sn) mit k > n 6 Serre-Spektralsequenzen 6.1 Filtrierte Kettenkomplexe und Treppendiagramme 6.2 Die Seiten der Homologie-Spektralsequenz 6.3 Die Bestimmung der Gruppen E2 p,q 6.4 Beispiele für Spektralsequenzen 6.5 Spektralsequenzen in der Kohomologie 6.6 Verallgemeinerung auf abelsche Koeffizientengruppen G Aufgaben und Wiederholungsfragen 7 Modulo-C-Klassen und die rationale Sphärenhomotopie 7.1 Postnikov-Türme und der Satz von Hurewicz-Serre 7.2 Rationale (Ko-)Homologie- und Homotopietheorie 7.3 Das Theorem von Serre über die Gruppen πk(Sn) ⊗ Q 7.4 Eine Multiplikation für die Gruppen Erp,q Aufgaben und Wiederholungsfragen Teil 3 Lokalisierungen, Kohomologieoperationen und konkrete Beispiele für Gruppen πk(Sn) mit k > n 8 Lokalisierungen von topologischen Räumen* 8.1 Die Existenz von P-Lokalisierungen 8.2 Das Theorem von Serre mit Q-Lokalisierungen 8.3 p-Lokalisierungen in Spektralsequenzen Aufgaben und Wiederholungsfragen 9 Steenrod-Squares 9.1 Kettenhomotopien in der Kohomologie 9.2 Die Konstruktion der Steenrod-Squares – Teil I 9.3 Äquivariante Homologie und Kohomologie 9.4 Die Konstruktion der Steenrod-Squares – Teil II 9.5 Bockstein-Homomorphismen 9.6 Die Steenrod-Algebra und die Adem-Relationen 9.7 Steenrod-Squares für allgemeine CW-Paare 9.8 Der Eindeutigkeitssatz 9.9 Mit Steenrod-Squares zu π5(S3) ≠ 0 und πs2 ≠ 0 9.10 Steenrod-Squares und Divisionsalgebren Aufgaben und Wiederholungsfragen 10 Konkrete Berechnungen in der Sphärenhomotopie 10.1 Die Bestimmung von πk(Sn) für k > n im Überblick 10.2 Klassische Beiträge zur Sphärenhomotopie 10.3 Die Sätze von Hurewicz und Whitehead modulo C 10.4 Die Reduktionssätze von Serre für πk(Sn) 10.5 Die ungerade Torsion in πk(S3) für 4 ≤ k ≤ 10 10.6 Intermezzo: Technische Ergänzungen zu Spektralsequenzen 10.7 Steenrod-Squares in Spektralsequenzen 10.8 Die Kohomologieringe H∗(Z, n;Z2) und H∗(Z2k, n;Z2) 10.9 Die stabilen Stämme πsk für k ≤ 5 10.10 Die gerade Torsion in πk(S3) für 4 ≤ k ≤ 10 Aufgaben und Wiederholungsfragen Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Index