Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen

Das Buch beginnt mit einer ausführlichen Zusammenstellung der nötigen Grundlagen aus der klassischen Algebra, der Theorie der algebraischen Funktionen und der algebraischen Zahlentheorie. Der folgende erste Abschnitt behandelt die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze sowohl für die Weierstraßschen als auch für die Jacobischen elliptischen Funktionen. Besondere Aufmerksamkeit widmet der Verfasser den speziellen Teilungsgleichungen, denen die Teilwerke der Weierstraßschen ℘-Funktion genügen. Der zweite Abschnitt nimmt die Hälfte des Bandes in Anspruch; er ist einer detaillierten Ausarbeitung der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen gewidmet. Hierbei handelt es sich um eine facettenreiche Theorie, die im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts im Rahmen der Herausbildung der Theorie der elliptischen Modulfunktionen durch Klein ihre hier niedergelegte Form gewonnen hat. Als Hilfsmittel für die Transformationstheorie erweist sich das Frickesche „Klassenpolygon“, das die Beziehung der elliptischen Funktionen zur Theorie der binären quadratischen Formen offen legt. Zahlreiche Beispiele erläutern die theoretischen Betrachtungen. Cover 1 Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen 4 2011 Copyright 5 Vorwort der Herausgeber von Teil III 6 Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Zweiter Teil: Die algebraischen Ausführungen 8 1922 Copyright 9 Vorwort 11 Inhaltsverzeichnis 12 Einleitung: Zusammenstellung von Sätzen aus der Algebra und Zahlentheorie 16 I. Endliche Gruppen 16 § 1. Begriff einer Gruppe endlicher Ordnung 16 § 2. Begriff der Untergruppe 19 § 3. Gleichberechtigte und ausgezeichnete Untergruppen 21 § 4. Sätze über ausgezeichnete Untergruppen 23 § 5. Kompositionsreihe einer Gruppe G_m 27 § 6. Sätze über Abelsche Gruppen 29 § 7. Permutationsgruppen 32 § 8. Transitivität und Primitivität der Permutationsgruppen 35 II. Algebraische Gleichungen 38 § 1. Symmetrische Funktionen 38 § 2. Tschirnhausentransformation 41 § 3. Hilfssatz über ganze Funktionen 42 § 4. Fuuktionen in Zahlkörpern 43 § 5. Algebraische Zahlen in bezug auf einen Körper R 47 § 6. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Zahlen 49 § 7. Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Zahlen 53 § 8. Galoissche Körper und Galoissche Resolventen 56 § 9. Die Transformationen eines Galoisschen Körpers in sich 58 § 10. Die Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = 0 61 § 11. Untergruppen der Galoisschen Gruppe und zugehörige Zahlen 64 § 12. Die rationalen Resolventen einer Gleichung f(z) = 0 67 § 13. Auflösung einer algebraischen Gleichung f(z) =0 69 § 14. Beispiel der Kreisteilungsgleichungen 71 § 15. Zyklische Gleichungen 73 § 16. Abelsche Gleichungen 76 § 17. Algebraisch lösbare Gleichungen 77 III. Algebraische Funktionen 79 § 1. Funktionen und Gleichungen in Fnnktionenkörpern 79 § 2. Algebraische Funktionen in bezug auf einen Körper R_x 82 § 3. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Funktionen 83 § 4. Konjugierte Körper. Primitive und imprimitive Funktionen 86 § 5. Galoissehe Körper und Galoissehe Resolventen 87 § 6. Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = 0 88 § 7. Auflösung einer algebraischen Gleichung f(z) = 0 90 § 8. Monodromiegruppe einer Gleichung f(z) = 0 91 IV. Algebraische Zahlen 93 § 1. Algebraische und ganze algebraische Zahlen 93 § 2. Ein algebraischer Hilfssatz 95 § 3. Folgerungen betreffs rationaler ganzer Zahlen 97 § 4. Algebraische Zahlkörper 98 § 5. Die ganzen Zahlen des Körpers R 100 § 6. Teilbarkeit der Zahlen η im Systeme e 102 § 7. Begriff und Darstellung eines Ideals 104 § 8. Multiplikation der Ideale 108 § 9. Faktorenzerlegung eines Ideals 110 § 10. Die Basen eines Ideals a 114 § 11. Norm eines Ideals 116 § 12. Äquivalenz der Ideale 119 § 13. Die Idealklassen des Körpers R 120 § 14. Zerfällung der rationalen Primzahlen in Primideale 122 § 15. Sätze über Galoissche Zahlkörper 125 § 16. Beispiel der quadratischen Körper 127 § 17. Gegen ein Ideal Il teilerfremde Zahlklassen 130 § 18. Satz über die zu einem gegebenen Ideale teilerfremden Ideale 134 V. Quadratische Körper und Formen negativer Diskriminante 136 § 1. Zweige und Zweigideale im quadratischen Körper R 136 § 2. Zahl strahlen im quadratischen Körper 140 § 3. Zerlegnng der Idealklassen von R in Zweigklassen 144 § 4. Multiplikation und Äquivalenz der Zweigideale 146 § 5. Basen der Ideale und ebene Punktgitter 150 § 6. Notizen über quadratische Formen negativer Diskriminante 152 § 7. Beziehung zwischen den Zweigidealen a_n und den quadratischen Formen 156 § 8. Komposition der quadratischen Formen 163 § 9. Einteilung der Formklassen in Geschlechter 166 Erster Abschnitt: Die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptischen Funktionen 172 Die Additionssätze der elliptischen Funktionen 172 § 1. Additionstheoreme der elliptischen Funktionen erster Stufe 173 § 2. Invariante algebraische Gestalten der Additionsformeln 177 § 3. Übergang zu den Additionsformeln der Jacobischen Funktionen 180 § 4. Einführung einer Abelschen Gruppe G_{256} 182 § 5. Die 256 dreigliedrigen Sigmarelationen 187 § 6. Die Additionstheoreme der Jacobischen Funktionen 191 § 7. Additionssätze für mehrgliedrige Argumentsummen 196 Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen 200 § 1. Multiplikatiollssätze der Funktionen erster Stufe 200 § 2. Partielle Differentialgleichung der Funktionen ψ^{(n)} 206 § 3. Berechnung von ℘(nu) durch ein Kettenbruchverfahren 208 § 4. Ansatz der Multiplikationsformeln für sn, cn und dn 212 § 5. Weitere Beziehungen zwischen den Funktionen G(z) 215 § 6. Differentialgleichungen zur Berechnung der Funktionen G(z) 221 Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen 226 § 1. Die allgemeine TeiIungsgleichung der p-Funktion 227 § 2. Die Monodromiegruppe der allgemeinen Teilungsgleichung 231 § 3. Zyklische Untergruppen der G_{n^2} und Kongruenzgruppenn n^{ter} Stufe 235 § 4. Elliptische Funktionen n^{ter} Stufe 242 § 5. Lösung der allgemeinen Teilungsgleichung 248 § 6. Divisionssätze der elliptischen Funktionen zweiter Stufe 251 § 7. Die Abelschen Relationen 257 Die Teilwerte der elliptischen Funktionen 261 § 1. Die Teilwerte ℘_{λμ}, ℘'_{λμ} und die speziellen Teilungsgleichungen 262 § 2. Kongruenzgruppen n^{ter} Stufe in der Modulgruppe Γ 267 § 3. Die Galoisschen Resolventen der speziellen Teilungsgleichungen 273 § 4. Lösung der speziellen Teilungsgleichung 279 § 5. Die Teilwerte der Funktionen sn, cn und dn 283 Zweiter Abschnitt: Die Transformationstheorie der elliptischen Funktionen 288 Die Transformation n^{ten} Grades und die allgemeinen Transformationsgleichungen 288 § 1. Aufstellung des Transformationsproblems und Ansatz zur Lösung 289 § 2. Die Repräsentanten der Transformationen n^{ten} Grades 293 § 3, Die allgemeine Trallsformationsgleichung der p-Funktion 297 § 4. Transformation n^{ten} Grades der Sigmafunktion 303 § 5. Transformation zweiten Grades der Thetafunktionen 305 § 6. Transformation zweiten Grades der Funktionen sn, cn und dn 309 § 7. Transformation ungeraden Grades der Funktionen zweiter Stufe 312 Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n^{ter} Stufe 316 § 1. Teilwerte und Wurzeln der Diskriminante Δ 316 § 2. Einfuhrung der ganzen elliptischen Funktionen dritter Art n^{ter} Ordnung X_λ, (u | ω_1, ω_2) 322 § 3. Lineare Transformation der Funktionen X_λ, (u | ω_1, ω_2) 327 § 4. Systeme von Modulformen für ungerade Stufen 333 § 5. Ein weiteres System von Modulformen für ungerade Stufen 335 § 6. Mehrgliedrige Bilinearverbindungen der X_λ und ihre lineare Transformation 339 § 7. Die Systeme der Funktionen Y_λ und der Modulformen y_λ 343 § 8. Die Systeme der Funktionen Z_λ und der Modulformen z_λ 346 Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe 354 § 1. Die speziellen Transformationsgleichungen als Resolventen der speziellen Teilungsgleichungen 354 § 2. Ansatz der speziellen Transformationsgleichungen. Geschichtliche Notizen 361 § 3. Das Transformationspolygon T_n und die Transformationsfläche F_n 368 § 4. Die erweiterte Gruppe Γ^{(n)} und das Klassenpolygon K_n 376 § 5. Algebraische Methode zur Aufstellung der speziellen Transformationsgleichungen 386 Aufstellung der Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n 390 § 1. Die Transformationsgrade 2, 4, 8, 16 und 32 391 § 2. Die Transformationsgrade 3, 9 und 27 403 § 3. Die Transformationsgrade 5, 25, 7 und 49 409 § 4. Primzahlige Transformationsgrade der Gestalt n = 4h + 3 423 § 5. Primzahlige Transformationsgrade der Gestalt n = 4h + 1 444 § 6. Zusammengesetzte ungerade Transformationsgrade 457 § 7. Zusammengesetzte gerade Transformationsgrade 466 Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen und die drei Resolventen der Grade 5, 7 und 11 479 § 1. Die Galoisschen Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen 480 § 2. Die Galoisschen imaginären Zahlen und die imaginäre Gestalt der G_{1/2 n(n^2-1)} 483 § 3. Zyklische Gruppen, metazyklische Gruppen und Diedergruppen in der G_{1/2 n(n^2-1)} 486 § 4. Ansatz zur Aufstellung aller Untergruppen der G_{1/2 n(n^2-1)} 492 § 5. Der Satz von Galois 496 § 6. Die Resolventen fünften und siebenten Grades 503 § 7. Die beiden Resolventen elften Grades 507 Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen 513 § 1. Wiederholte Landensche Transformation 514 § 2. Die Jacobi-Sohnkeschen Modulargleichungen 517 § 3. Die Schlaeflischen Modulargleichungen 524 § 4. Die Jacobischen Multiplikatorgleichungen 530 § 5. Gruppentheoretische Grundlagen für die Resolventen funften Grades zweiter Stufe 535 § 6. Aufstellung der Resolventen fünften Grades zweiter Stufe 537 § 7. Notizen uber die Lösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades durch elliptische Funktionen 542 § 8. Notizen über irrationale Modulargleichungen 546 § 9. Notizen über Modularkorrespondenzen 549 § 10. System der Modulfunktionen sechster Stufe 555 § 11. Die Thetarelationen des dritten Transformationsgrades 560 Sachregister 564 Front Matter....Pages I-XIV Einleitung. Zusammenstellung von Sätzen aus der Algebra und Zahlentheorie....Pages 1-155 Erster Abschnitt. Die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptischen Funktionen. Erstes Kapitel. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen....Pages 156-183 Zweites Kapitel. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen....Pages 184-208 Drittes Kapitel. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen....Pages 209-242 Viertes Kapitel. Die Teilwerte der elliptischen Funktionen....Pages 243-268 Zweiter Abschnitt. Die Transformationstheorie der elliptischen Funktionen. Erstes Kapitel. Die Transformation n ten Grades und die allgemeinen Transformationsgleichungen....Pages 269-296 Zweites Kapitel. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ter Stufe....Pages 297-334 Drittes Kapitel. Die speziellen Transformationsgleichungen erster Stufe....Pages 335-369 Viertes Kapitel. Aufstellung der Transformationsgleichungen erster Stufe für niedere Grade n ....Pages 370-457 Fünftes Kapitel. Die Gruppen der speziellen Transformationsgleichungen und die drei Resolventen der Grade 5, 7 und 11....Pages 458-490 Sechstes Kapitel. Die speziellen Transformationsgleichungen höherer Stufen....Pages 491-541 Back Matter....Pages 542-546 Das Buch beginnt mit einer ausführlichen Zusammenstellung der nötigen Grundlagen aus der klassischen Algebra, der Theorie der algebraischen Funktionen und der algebraischen Zahlentheorie. Der folgende erste Abschnitt behandelt die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze sowohl für die Weierstraßschen als auch für die Jacobischen elliptischen Funktionen. Besondere Aufmerksamkeit widmet der Verfasser den speziellen Teilungsgleichungen, denen die Teilwerke der Weierstraßschen & weierp; -Funktion genügen. Der zweite Abschnitt nimmt die Hälfte des Bandes in Anspruch; er ist einer detaillierten Ausarbeitung der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen gewidmet. Hierbei handelt es sich um eine facettenreiche Theorie, die im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts im Rahmen der Herausbildung der Theorie der elliptischen Modulfunktionen durch Klein ihre hier niedergelegte Form gewonnen hat. Als Hilfsmittel für die Transformationstheorie erweist sich das Frickesche "Klassenpolygon", das die Beziehung der elliptischen Funktionen zur Theorie der binären quadratischen Formen offen legt. Zahlreiche Beispiele erläutern die theoretischen Betrachtungen Band 2 des Lehrbuchklassikers liefert eine detaillierte Darstellung der Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze sowie der Transformationstheorie der elliptischen Funktionen, wie sie in moderneren Werken nicht verfügbar ist. Autor ist der deutsche Mathematiker Dr. Karl Emanuel Robert Fricke (1861 – 1930), der sich in enger Zusammenarbeit mit Felix Klein mit der Funktionentheorie beschäftigte. Band 1 beinhaltet die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen, während in Band 2 die algebraischen Ausführungen dargestellt werden.