Didaktische Herausforderungen der Trigonometrie: Bogenmaß, Additionstheoreme und die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion (BestMasters) (German Edition)

Stefan Korntreff diskutiert drei didaktische Fragestellungen, die sich in der Lehre der Schultrigonometrie stellen: Wieso messen wir Winkel ab einem bestimmten Zeitpunkt in der Schule im Bogenmaß? Gibt es gute Gründe, die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion in der Schule einzuführen und sollten die trigonometrischen Additionstheoreme in der Schule behandelt werden? Der Autor beantwortet diese Fragestellungen gleichermaßen aus Perspektive von Lehrenden und Lernenden, um Grundlagen für einen sinnstiftenden Trigonometrieunterricht bereitzustellen. Denn der Unterricht sollte sich an den tatsächlichen Prozessen der mathematischen Erkenntnisgewinnung und -anwendung orientieren, ohne dabei die mathematische Entwicklungsgeschichte der Schüler und Schülerinnen aus den Augen zu verlieren. Inhaltsverzeichnis 7 Abbildungsverzeichnis 10 Einleitung 11 1 Drei trigonometrische Unterrichtsinhalte im Lichte des genetischen Prinzips 13 1.1 Drei Inhalte des schulischen Trigonometrieunterrichts 13 1.1.1 Der schulische Trigonometrieunterricht 14 1.1.2 Das genetische Prinzip 16 1.1.3 Der Bogenmaßbegriff 19 1.1.4 Die Additionstheoreme 21 1.1.5 Die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion 23 1.2 Das genetische Prinzip 24 1.2.1 Wittmanns Formulierung des genetischen Prinzips 24 1.2.2 Die Reichweite des genetischen Prinzips 26 1.2.3 Natürliche Prozesse der Produktion und Anwendung mathematischer Erkenntnis 27 1.2.4 Die individuelle Genese 31 1.2.5 Kriterien einer gelungenen Orientierung 34 1.3 Das Vorhaben dieser Arbeit und das weitere Vorgehen 36 2 Sachanalyse der drei Unterrichtsinhalte 38 2.1 Die euklidische Ebene 39 2.2 Beiträge der reellen Analysis zur Sachanalyse 43 2.2.1 Die Summenfunktionen sin und cos 43 2.2.2 Die Rolle der Additionstheoreme in der reellen Analysis 46 2.2.3 Ein wichtiger Satz, Polarkoordinaten, die Drehmatrix und die Multiplikation komplexer Zahlen 51 2.2.4 Der Begri der Bogenlänge 56 2.3 Winkel und Winkelmaße 64 2.3.1 Der Winkelbegriff 64 2.3.2 Der Begriff der Winkelgröße 65 2.3.3 Über Winkelmessung 70 3 Die Einführung des Bogenmaßbegriffs 77 3.1 Die Rolle des Bogenmaßes im Trigonometrielehrgang 78 3.1.1 Curriculare Verortung der Behandlung des Bogenmaßbegriffs 78 3.1.2 Gründe für die Behandlung des Bogenmaßbegriffs 81 3.1.3 Der Forschungsstand zur Behandlung des Bogenmaßbegriffs 86 3.2 Die Motivation der Einführung des Bogenmaßbegriffs 89 3.2.1 Mathematische Motive zur Behandlung des Bogenmaßes 90 3.2.2 Mathematikhistorische Motive zur Behandlung des Bogenmaßes 91 3.2.3 Weitere Motive zur Behandlung des Bogenmaßes 94 3.2.4 Zusammenstellung und didaktische Evaluation der Motive 97 3.2.5 Eine Motivation der Einführung des Bogenmaßes 105 3.3 Ausblick: Die Einführung des Bogenmaßes 110 4 Die Erarbeitung der Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion 114 4.1 Die Rolle der Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion in einem genetischen Trigonometrielehrgang 116 4.2 Konservative Zugänge zu den Ableitungen 122 4.2.1 Eine Vermutung aus der Anschauung 123 4.2.2 Verschiedene konventionelle Beweise 125 4.3 Ein revolutionärer Zugang zu den Ableitungen 134 4.4 Fazit 138 5 Die Behandlung der Additionstheoreme 140 5.1 Die Additionstheoreme und funktionales Denken 141 5.1.1 Über die Zuordnung zweier Größen 142 5.1.2 Über die Beschreibung systematischer Änderungen 148 5.1.3 Über den Wechsel zwischen Ganzem und Einzelnem 150 5.2 Erklärende Beweise des Sinus-Additionstheorems und der Sinusformel fürden doppelten Winkel 152 5.2.1 Die Entdeckung der Sinusformel für den doppelten Winkel 152 5.2.2 Ein erklärender Beweis des Sinus-Additionstheorems 159 5.3 Zusammenfassung und historische 161 Anmerkung 161 Fazit und Ausblick 163 Literaturverzeichnis 166 Stefan Korntreff diskutiert drei didaktische Fragestellungen, die sich in der Lehre der Schultrigonometrie stellen: Wieso messen wir Winkel ab einem bestimmten Zeitpunkt in der Schule im Bogenmaß? Gibt es gute Gründe, die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion in der Schule einzuführen und sollten die trigonometrischen Additionstheoreme in der Schule behandelt werden? Der Autor beantwortet diese Fragestellungen gleichermaßen aus Perspektive von Lehrenden und Lernenden, um Grundlagen für einen sinnstiftenden Trigonometrieunterricht bereitzustellen. Denn der Unterricht sollte sich an den tatsächlichen Prozessen der mathematischen Erkenntnisgewinnung und -anwendung orientieren, ohne dabei die mathematische Entwicklungsgeschichte der Schüler und Schülerinnen aus den Augen zu verlieren. Der Inhalt Prinzipien eines genetischen Mathematikunterrichts Motivation der Einführung des Bogenmaßbegriffs Einführung der Ablei tungen der Sinus- und Kosinusfunktion Behandlung der Additionstheoreme Die Zielgruppen Dozierende und Studierende der Mathematikdidaktik Lehrerinnen und Lehrer der Sekundarstufen und ihre Aus- und Fortbildenden Der Autor Stefan Korntreff arbeitet als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin Front Matter ....Pages I-XIV Drei trigonometrische Unterrichtsinhalte im Lichte des genetischen Prinzips (Stefan Korntreff)....Pages 3-27 Sachanalyse der drei Unterrichtsinhalte (Stefan Korntreff)....Pages 29-67 Die Einführung des Bogenmaßbegriffs (Stefan Korntreff)....Pages 69-105 Die Erarbeitung der Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion (Stefan Korntreff)....Pages 107-132 Die Behandlung der Additionstheoreme (Stefan Korntreff)....Pages 133-155 Back Matter ....Pages 157-170