Darstellungen von Gruppen : Mit Berücksichtigung der Bedürfnisse der modernen Physik

die Matrizen, die zu Transpositionen gehören, nicht nur (wie bei der natürlichen Darstellung) leicht berechnen, sondern unmittelbar hin­ schreiben kann. Und die orthogonale Darstellung ist es ja, die bei den Anwendungen fast immer gebraucht wird (IV § 5 und 6). In VIII § 5 ist die Freudenthalsche explizite Spindarstellung der Drehgruppe hinzugekommen, die ebenso wie der oben genannte Satz über die Darstellungsgrade bereits in die 1963 erschienene englische Ausgabe des Buches aufgenommen worden war. Mein Dank gilt wiederum dem Verlag und der Druckerei für das bereitwillige Eingehen auf alle meine Wünsche und ebenso den Herren Dr. A. KERBER und H. PAHLINGS, die mich bei der Redaktion dieser Auf­ lage mit Rat und Tat unterstützt haben. H. BoERNER Gießen, im August 1967 Vorwort zur ersten Auflage Die Darstellungstheorie der Gruppen ist eines der reizvollsten Bei­ spiele für die Wechselwirkung zwischen Physik und reiner Mathematik. Wenige lahre vor der lahrhundertwende führte der Algebraiker G. FROBENIUS die Gruppencharaktere und den Begriff der Darstellungen ein; ein Jahrzehnt lang enthielt nun fast jeder Band der Berliner Sitzungs­ berichte eine oder mehrere der schönen Arbeiten von FROBENIUS und 1. SCHUR über diesen Gegenstand. Unterdessen hatte mit dem neuen Jahrhundert in demselben Berlin die Quantentheorie das Licht der Welt erblickt - aber niemand ahnte, daß ein Vierteljahrhundert später beide Theorien in so innige Wechselwirkung treten würden. Das geschah in Göttingen, nachdem dort in enger räumlicher und geistiger Nachbar­ schaft zu dem Algebraikerkreis um EMMY NOETHER die Born-Heisenberg­ sehe Quantenmechanik entstanden war. Cover page Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen § 1. Vektoren § 2. Lineare Abbildungen. Matrizen § 3. Algebren § 4. Quadratische und hermitesche Formen, orthogonale und unitäre Matrizen § 5. Eigenwerte und Transformation auf DiagonalgestaIt § 6. Zwei weitere Verknüpfungen für Matrizen; das Kronecker-Produkt § 7. Äquivalenz und Reduzibilität von Matrixsystemen Das Lemma von SCHUR § 8. Vertauschbarkeit von Matrixsystemen § 9. Beispiele irreduzibler Systeme Eine Anwendung der Schurschen Lemmas 2 Gruppen § 1. Elementare Gruppentheorie § 2. Die symmetrische und die alternierende Gruppe § 3. Kontinuierliche Gruppen § 4. Die Matrix-Exponentialfunktion § 5. Der Infinitesimalring einer linearen Gruppe § 6. Integration in Lieschen Gruppen 3 Darstellungstheorie § 1. Begriff der Darstellung und der Irreduzibilität § 2. Der Gruppenring und die reguläre Darstellung § 3. Struktur des Gruppenrings. Vorbereitende Sätze § 4. Die Struktur des Gruppenrings und das System der Klassen irreduzibler Darstellungen § 5. Zur Darstellungstheorie der halbeinfachen Aigebren § 6. Normale Darstellungen § 7. Die Charaktere §8. Charaktere und Gruppenring § 9. Die infmitesimalen Transformationen der Darstellungen kontinuierlicher Gruppen § 10. Die adjungierte Darstellung § 11. Die Charaktere der kontinuierlichen Gruppen § 12. Strahldarstellungen § 13. Gruppe und Untergruppe 4 Die Darstellungen der symmetrischen Gruppe § 1. Young Tableaux § 2. Hilfssätze über Young Tableaux § 3. Die irreduziblen Darstellungen § 4. Die Standard-Tableaux. Volle Reduktion des Gruppenrings § 5. Youngs seminormale Darstellung § 6. Youngs orthogonale Darstellung § 7. Beweis der Sätze 4.2 und 4.3 5 Die Darstellungen der vollen linearen, unimodularen und unitären Gruppen § 1. Vorbemerkungen § 2. Das Kronecker-Quadrat und die symmetrischen und schiefsymmetrischen Tensoren zweiter Stufe § 3. Der Raum der Tensoren v-ter Stufe und die Darstellungen der Gruppe Sn vom Polynomgrad v § 4. Die Symmetrieklassen im Tensorraum § 5. Die Tableaux und die ganzrationalen Darstellungen der vollen linearen Gruppe § 6. Der Verzweigungssatz § 7. Ganzrationale Darstellngen der reellen linearen, unimodularen und unitären Gruppen § 8. Rationale und semirationale Darstellungen § 9. Die unzerfällbaren Darstellungen der additiven Gruppe der reellen Zahlen § 10. Die stetigen Darstellungen der vollen und reellen linearen, der unimodularen und unitären Gruppe 6 Charaktere der linearen und der Permutationsgruppen Die alternierende Gruppe § 1. Die Charakteristiken und die Darstellungsgrade der ganzrationalen Darstellungen der vollen linearen Gruppe § 2. Zusammenhang zwischen den Charakteren der symmetrischen Gruppe und den Charakteristiken der vollen linearen Gruppe § 3. Zur Berechnung der Charaktere der symmetrischen Gruppe Übersicht über die Darstellungen der alternierenden Gruppe § 4. Noch eine Formel zur Berechnung der Charaktere § 5. Analyse von Kronecker-Produkten bei der symmetrischen und bei der vollen linearen Gruppe § 6. Die Charaktere der alternierenden Gruppe 7 Charaktere und eindeutige Darstellungen der Drehgruppe § 1. Zusammenhangsverhältnisse der Drehgruppe § 2. Das Toroid § 3. Das Stiefelsehe Diagramm § 4. Die Gruppe Psi § 5. Die Fundamentalbereiche der Gruppe Psi § 6. Die Eigenwerte der DarsteUungen § 7. Die Eigenwerte der adjungierten Darstellung § 8. Das Integral über eine Klassenfunktion § 9. Invariante und alternierende Polynome und Elementarsummen § 10. Das System der einfachen Charaktere § 11. Der DarsteUungsgrad § 12. Der Verzweigungssatz § 13. Anwendung auf die niedersten Dimensionszahlen § 14. Die Fundamentaldarstellungen § 15. Die volle orthogonale Gruppe 8 SpindarsteIlungen, Infinitesimalring, gewöhnliche Drehgruppe § 1. Der Infmitesimalring der Drehgruppe § 2. Clifford Algebren und ihr Zusammenhang mit infinitesimalen Drehungen § 3. Darstellungstheorie der Cliffordschen Algebra § 4. Die Spindarstellungen des Infmitesimalrings der Drehgruppe § 5. Die SpindarsteIlungen der Drehgruppe § 6. Die gewöhnliche Drehgruppe § 7. Die Formel von CLEBSCH-GORDAN § 8. Struktur des Infinitesimalrings und Gewichte der Darstellungen § 9. Weitere Kronecker-Produkte. Algebra von KEMMER und DE BROGLIE 9 Die Lorentz-Gruppe § 1. Die vier Stücke der Lorentz-Gruppe § 2. Die Fundamentaldarstellungen der Lorentz-Gruppe § 3. Die gewöhnliche eigentliche Lorentz-Gruppe § 4. Die Darstellungen der vollen Lorentz-Gruppe Literaturverzeichnis Sachverzeichnis