Cálculo 1

Los dos tomos de este Calculus sirven muy adecuadamente como textos de dos primeros cursos en estudios que requieran una sólida base matemática, pues a las notables cualidades didácticas de un libro destinado a introducir al estudiante en el espíritu y práctica de la Matemática básica, se añade la ponderación y rigor lógico en la exposición de las teorías, lo que da carácter modélico a esta obra. PRÓLOGO......Page 8 ÍNDICE ANALÍTICO......Page 12 I 1.1 Los dos conceptos básicos del Cálculo......Page 25 I 1.2 Introducción histórica......Page 27 I 1.3 El método de exhaución para el área de un segmento de parábola......Page 28 *I 1.4 Ejercicios......Page 33 I 1.5 Análisis crítico del método de Arquímedes......Page 34 I 1.6 La introducción al Cálculo que se utiliza en este libro......Page 36 I 2.1 Introducción a la teoría de conjuntos......Page 37 I 2.2 Notaciones para designar conjuntos......Page 38 I 2.3 Subconjuntos......Page 39 I 2.4 Reuniones, intersecciones, complementos......Page 41 I 2.5 Ejercicios......Page 43 I 3.1 Introducción......Page 45 I 3.2 Axiomas de cuerpo......Page 46 I 3.4 Axiomas de orden......Page 48 I 3.6 Números enteros y racionales......Page 50 I 3.8 Cota superior de un conjunto, elemento máximo, extremo superior......Page 52 I 3.9 Axioma del extremo superior (axioma de completitud)......Page 54 I 3.10 La propiedad arquimediana del sistema de los números reales......Page 56 I 3.11 Propiedades fundamentales del extremo superior......Page 57 *I 3.12 Ejercicios......Page 58 *I 3.13 Existencia de raíces cuadradas de los números reales no negativos......Page 59 *I 3.14 Raíces de orden superior. Potencias racionales......Page 60 *I 3.15 Representación de los números reales por medio de decimales......Page 61 I 4.1 Ejemplo de demostración por inducción matemática......Page 64 I 4.2 El principio de la inducción matemática......Page 65 *I 4.3 El principio de buena ordenación......Page 66 I 4.4 Ejercicios......Page 68 *I 4.5 Demostración del principio de buena ordenación......Page 69 I 4.6 El símbolo sumatorio......Page 70 I 4.7 Ejercicios......Page 73 I 4.8 Valor absoluto y desigualdad triangular......Page 74 I 4.9 Ejercicios......Page 77 *I 4.10 Ejercicios varios referentes al método de inducción......Page 78 1.1 Las ideas básicas de la Geometría cartesiana......Page 83 1.2 Funciones. Ideas generales y ejemplos......Page 85 *1.3 Funciones. Definición formal como conjunto de pares ordenados......Page 89 1.4 Más ejemplos de funciones reales......Page 90 1.5 Ejercicios......Page 93 1.6 El concepto de área como función de conjunto......Page 94 1.7 Ejercicios......Page 97 1.8 Intervalos y conjuntos de ordenadas......Page 98 1.9 Particiones y funciones escalonadas......Page 99 1.10 Suma y producto de funciones escalonadas......Page 101 1.11 Ejercicios......Page 102 1.12 Definición de integral para funciones escalonadas......Page 103 1.13 Propiedades de la integral de una función escalonada......Page 105 1.14 Otras notaciones para las integrales......Page 109 1.15 Ejercicios......Page 110 1.16 La integral de funciones más generales......Page 112 1.17 Integrales superior e inferior......Page 115 1.18 El área de un conjunto de ordenadas expresada como una integral......Page 116 1.19 Observaciones relativas a la teoría y técnica de la integración......Page 117 1.20 Funciones monótonas y monótonas a trozos. Definiciones y ejemplos......Page 118 1.21 Integrabilidad de funciones monótonas acotadas......Page 119 1.22 Cálculo de la integral de una función monótona acotada......Page 121 1.23 Cálculo de la integral ∫0b xp dx siendo p entero positivo......Page 122 1.24 Propiedades fundamentales de la integral......Page 123 1.25 Integración de polinomios......Page 125 1.26 Ejercicios......Page 126 1.27 Demostraciones de las propiedades fundamentales de la integral......Page 128 2.2 El área de una región comprendida entre dos gráficas expresada como una integral......Page 133 2.3 Ejemplos resueltos......Page 135 2.4 Ejercicios......Page 140 2.5 Las funciones trigonométricas......Page 141 2.6 Fórmulas de integración para el seno y el coseno......Page 145 2.7 Descripción geométrica de las funciones seno y coseno......Page 150 2.8 Ejercicios......Page 153 2.9 Coordenadas polares......Page 157 2.10 La integral para el área en coordenadas polares......Page 158 2.11 Ejercicios......Page 160 2.12 Aplicación de la integración al cálculo de volúmenes......Page 161 2.13 Ejercicios......Page 164 2.14 Aplicación de la integración al concepto de trabajo......Page 165 2.15 Ejercicios......Page 168 2.16 Valor medio de una función......Page 169 2.17 Ejercicios......Page 171 2.18 La integral como función del límite superior. Integrales indefinidas......Page 172 2.19 Ejercicios......Page 177 3.1 Idea intuitiva de continuidad......Page 179 3.2 Definición de límite de una función......Page 180 3.3 Definición de continuidad de una función......Page 184 3.4 Teoremas fundamentales sobre límites. Otros ejemplos de funciones continuas......Page 186 3.5 Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre límites......Page 191 3.6 Ejercicios......Page 193 3.7 Funciones compuestas y continuidad......Page 196 3.8 Ejercicios......Page 198 3.9 Teorema de Bolzano para las funciones continuas......Page 199 3.10 Teorema del valor intermedio para funciones continuas......Page 201 3.11 Ejercicios......Page 202 3.12 El proceso de inversión......Page 203 3.13 Propiedades de las funciones que se conservan por la inversión......Page 204 3.14 Inversas de funciones monótonas a trozos......Page 206 3.15 Ejercicios......Page 207 3.16 Teorema de los valores extremos para funciones continuas......Page 208 3.17 Teorema de la continuidad uniforme......Page 210 3.18 Teorema de integrabilidad para funciones continuas......Page 211 3.19 Teoremas del valor medio para funciones continuas......Page 213 3.20 Ejercicios......Page 214 4.1 Introducción histórica......Page 215 4.2 Un problema relativo a velocidad......Page 216 4.3 Derivada de una función......Page 219 4.4 Ejemplos de derivadas......Page 221 4.5 Álgebra de las derivadas......Page 225 4.6 Ejercicios......Page 228 4.7 Interpretación geométrica de la derivada como una pendiente......Page 231 4.8 Otras notaciones para las derivadas......Page 233 4.9 Ejercicios......Page 235 4.10 Regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas......Page 237 4.11 Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variación ligados y derivación implícita......Page 240 4.12 Ejercicios......Page 243 4.13 Aplicaciones de la derivación a la determinación de los extremos de las funciones......Page 245 4.14 Teorema del valor medio para derivadas......Page 248 4.15 Ejercicios......Page 251 4.16 Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades geométricas de las funciones......Page 252 4.17 Criterio de la derivada segunda para los extremos......Page 254 4.18 Trazado de curvas......Page 255 4.19 Ejercicios......Page 257 4.20 Ejemplos resueltos de problemas de extremos......Page 258 4.21 Ejercicios......Page 261 *4.22 Derivadas parciales......Page 263 *4.23 Ejercicios......Page 269 5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental del cálculo......Page 271 5.3 Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del cálculo......Page 274 5.4 Propiedades de una función deducidas de propied ades de su derivada......Page 277 5.5 Ejercicios......Page 278 5.6 La notación de Leibniz para las primitivas......Page 281 5.7 Integración por sustitución......Page 283 5.8 Ejercicios......Page 288 5.9 Integración por partes......Page 290 5.10 Ejercicios......Page 293 5.11 Ejercicios de repaso......Page 296 6.1 Introducción......Page 301 6.2 Definición del logaritmo natural como integral......Page 302 6.3 Definición de logaritmo. Propiedades fundamentales......Page 305 6.5 Consecuencias de la ecuación funcional L(ab) = L(a) + L(b)......Page 306 6.6 Logaritmos referidos a una base positiva b≠1......Page 308 6.7 Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen logaritmos......Page 310 6.8 Derivación logarítmica......Page 312 6.9 Ejercicios......Page 313 6.10 Polinomios de aproximación para el logaritmo......Page 315 6.12 La función exponencial......Page 320 6.13 Exponenciales expresadas como potencias de e......Page 322 6.14 Definición de ex para x real cualquiera......Page 323 6.16 Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen exponenciales......Page 324 6.17 Ejercicios......Page 328 6.18 Funciones hiperbólicas......Page 331 6.20 Derivadas de funciones inversas......Page 332 6.21 Inversas de las funciones trigonométricas......Page 333 6.22 Ejercicios......Page 338 6.23 Integración por fracciones simples......Page 340 6.24 Integrales que pueden transformarse en integrales de funciones racionales......Page 347 6.25 Ejercicios......Page 350 6.26 Ejercicios de repaso......Page 352 7.1 Introducción......Page 357 7.2 Polinomios de Taylor engendrados por una función......Page 359 7.3 Cálculo con polinomios de Taylor......Page 361 7.4 Ejercicios......Page 364 7.5 Fórmula de Taylor con resto......Page 365 7.6 Estimación del error en la fórmula de Taylor......Page 366 *7.7 Otras formas de la fórmula de Taylor con resto......Page 371 7.8 Ejercicios......Page 372 7.9 Otras observaciones sobre el error en la fórmula de Taylor. La notación o......Page 374 7.10 Aplicaciones a las formas indeterminadas......Page 378 7.11 Ejercicios......Page 380 7.12 Regla de L'Hôpital para la forma indeterminada 0/0......Page 381 7.13 Ejercicios......Page 386 7.14 Los símbolos +∞ y -∞. Extensión de la regla de L'Hôpital......Page 387 7.15 Límites infinitos......Page 390 7.16 Comportamiento de log x y ex para valores grandes de x......Page 392 7.17 Ejercicios......Page 395 8.1 Introducción......Page 397 8.2 Terminología y notación......Page 398 8.3 Ecuación diferencial de primer orden para la función exponencial......Page 400 8.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden......Page 401 8.5 Ejercicios......Page 405 8.6 Algunos problemas físicos que conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden......Page 406 8.7 Ejercicios......Page 414 8.8 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes......Page 418 8.9 Existencia de soluciones de la ecuación y′′ + by = 0......Page 419 8.10 Reducción de la ecuación general al caso particular y′′ + by = 0......Page 420 8.11 Teorema de unicidad para la ecuación y′′ + by = 0......Page 421 8.12 Solución completa de la ecuación y′′ + by = 0......Page 422 8.13 Solución completa de la ecuación y′′ + ay′ + by = 0......Page 423 8.14 Ejercicios......Page 425 8.15 Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes......Page 426 8.16 Métodos particulares para la determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea y′′ + ay′ + by = R......Page 430 8.18 Ejemplos de problemas físicos que conducen a ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes......Page 432 8.19 Ejercicios......Page 438 8.20 Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales......Page 440 8.21 Curvas integrales y campos direccionales......Page 441 8.22 Ejercicios......Page 445 8.23 Ecuaciones separables de primer orden......Page 446 8.24 Ejercicios......Page 448 8.25 Ecuaciones homogéneas de primer orden......Page 449 8.27 Algunos problemas físicos y geométricos que conducen a ecuaciones de primer orden......Page 453 8.28 Ejercicios de repaso......Page 458 9.2 Definiciones y propiedades......Page 461 9.3 Los números complejos como una extensión de los números reales......Page 464 9.4 La unidad imaginaria i......Page 465 9.5 Interpretación geométrica. Módulo y argumento......Page 467 9.6 Ejercicios......Page 469 9.7 Exponenciales complejas......Page 470 9.8 Funciones complejas......Page 473 9.9 Ejemplos de fórmulas de derivación e integración......Page 475 9.10 Ejercicios......Page 477 10.1 La paradoja de Zenón......Page 481 10.2 Sucesiones......Page 486 10.3 Sucesiones monótonas de números reales......Page 489 10.4 Ejercicios......Page 491 10.5 Series infinitas......Page 493 10.6 Propiedad de linealidad de las series convergentes......Page 495 10.7 Series telescópicas......Page 496 10.8 Serie geométrica......Page 498 10.9 Ejercicios......Page 501 *10.10 Ejercicios con expresiones decimales......Page 503 10.11 Criterios de convergencia......Page 504 10.12 Criterios de comparación para series de términos no negativos......Page 506 10.13 El criterio integral......Page 508 10.14 Ejercicios......Page 510 10.15 Criterios de la raíz y del cociente para series de términos no negativos......Page 511 10.16 Ejercicios......Page 514 10.17 Series alternadas......Page 516 10.19 Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel......Page 520 10.20 Ejercicios......Page 523 *10.21 Reordenación de series......Page 525 10.22 Ejercicios varios de repaso......Page 530 10.23 Integrales impropias......Page 532 10.24 Ejercicios......Page 537 11.1 Convergencia puntual de sucesiones de funciones......Page 541 11.2 Convergencia uniforme de sucesiones de funciones......Page 543 11.3 Convergencia uniforme y continuidad......Page 544 11.4 Convergencia uniforme e integración......Page 545 11.5 Una condición suficiente para la convergencia uniforme......Page 546 11.6 Series de potencias. Círculo de convergencia......Page 548 11.7 Ejercicios......Page 550 11.8 Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias......Page 552 11.10 Condición suficiente para la convergencia de una serie de Taylor......Page 556 11.11 Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigonométricas......Page 557 *11.12 Teorema de Bernstein......Page 559 11.13 Ejercicios......Page 560 11.14 Series de potencias y ecuaciones diferenciales......Page 562 11.15 La serie binómica......Page 565 11.16 Ejercicios......Page 566 12.1 Introducción histórica......Page 569 12.2 El espacio vectorial de las n-plas de números reales......Page 570 12.3 Interpretación geométrica para n≤3......Page 573 12.4 Ejercicios......Page 575 12.5 Producto escalar......Page 576 12.6 Longitud o norma de un vector......Page 578 12.7 Ortogonalidad de vectores......Page 581 12.8 Ejercicios......Page 582 12.9 Proyecciones. Ángulo de dos vectores en el espacio de n dimensiones......Page 583 12.10 Los vectores coordenados unitarios......Page 585 12.11 Ejercicios......Page 587 12.12 Envolvente lineal de un conjunto finito de vectores......Page 589 12.13 Independencia lineal......Page 591 12.14 Bases......Page 594 12.15 Ejercicios......Page 595 12.16 El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de números complejos......Page 597 12.17 Ejercicios......Page 599 13.1 Introducción......Page 601 13.2 Rectas en el espacio n-dimensional......Page 602 13.3 Algunas propiedades sencillas de las rectas......Page 603 13.4 Rectas y funciones vectoriales......Page 605 13.5 Ejercicios......Page 608 13.6 Planos en el espacio euclídeo n-dimensional......Page 609 13.7 Planos y funciones vectoriales......Page 613 13.8 Ejercicios......Page 614 13.9 Producto vectorial......Page 615 13.10 El producto vectorial expresado en forma de determinante......Page 619 13.11 Ejercicios......Page 621 13.12 Producto mixto......Page 622 13.13 Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales......Page 625 13.14 Ejercicios......Page 626 13.15 Vectores normales a planos......Page 628 13.16 Ecuaciones lineales cartesianas para planos......Page 630 13.17 Ejercicios......Page 631 13.18 Las secciones cónicas......Page 633 13.19 Excentricidad de las secciones cónicas......Page 636 13.20 Ecuaciones polares de las cónicas......Page 638 13.21 Ejercicios......Page 639 13.22 Cónicas simétricas respecto al origen......Page 640 13.23 Ecuaciones cartesianas de las cónicas......Page 642 13.24 Ejercicios......Page 645 13.25 Ejercicios varios sobre cónicas......Page 647 14.2 Operaciones algebraicas. Componentes......Page 651 14.3 Límites, derivadas e integrales......Page 652 14.4 Ejercicios......Page 656 14.5 Aplicaciones a las curvas. Tangencia......Page 657 14.6 Aplicaciones al movimiento curvilíneo. Vector velocidad, velocidad y aceleración......Page 661 14.7 Ejercicios......Page 665 14.8 Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a una curva......Page 667 14.9 Ejercicios......Page 670 14.10 Definición de longitud de un arco......Page 672 14.11 Aditividad de la longitud de arco......Page 675 14.12 Función longitud de arco......Page 676 14.13 Ejercicios......Page 679 14.14 Curvatura de una curva......Page 681 14.15 Ejercicios......Page 683 14.16 Los vectores velocidad y aceleración en coordenadas polares......Page 684 14.17 Movimiento plano con aceleración radial......Page 687 14.18 Coordenadas cilíndricas......Page 688 14.19 Ejercicios......Page 689 14.20 Aplicaciones al movimiento planetario......Page 691 14.21 Ejercicios de repaso......Page 695 15.2 Definición de espacio lineal......Page 699 15.3 Ejemplos de espacios lineales......Page 701 15.4 Consecuencias elementales de los axiomas......Page 703 15.5 Ejercicios......Page 704 15.6 Subespacios de un espacio lineal......Page 705 15.7 Conjuntos dependientes e independientes, en un espacio lineal......Page 707 15.8 Bases y dimensión......Page 709 15.9 Ejercicios......Page 710 15.10 Productos interiores, espacios euclídeos. Normas......Page 711 15.11 Ortogonalidad en un espacio euclídeo......Page 715 15.12 Ejercicios......Page 718 15.13 Censtrucción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt......Page 720 15.14 Complementos ortogonales. Proyecciones......Page 725 15.15 Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita......Page 728 15.16 Ejercicios......Page 730 16.1 Transformaciones lineales......Page 733 16.2 Núcleo y recorrido......Page 735 16.3 Dimensión del núcleo y rango de la transformación......Page 736 16.4 Ejercicios......Page 738 16.5 Operaciones algebraicas con transformaciones lineales......Page 740 16.6 Inversas......Page 742 16.7 Transformaciones lineales uno a uno......Page 745 16.8 Ejercicios......Page 747 16.9 Transformaciones lineales con valores asignados......Page 749 16.10 Representación matricial de las transformaciones lineales......Page 750 16.11 Construcción de una representación matricial en forma diagonal......Page 754 16.12 Ejercicios......Page 756 16.13 Espacios lineales de matrices......Page 757 16.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices......Page 759 16.15 Multiplicación de matrices......Page 760 16.16 Ejercicios......Page 764 16.17 Sistemas d e ecuaciones lineales......Page 766 16.18 Técnicas de cálculo......Page 769 16.19 Inversas d e matrices cuadradas......Page 774 16.20 Ejercicios......Page 776 16.21 Ejercicios varios sobre matrices......Page 778 Soluciones a los ejercicios......Page 781 Índice alfabético......Page 829 The remarkable progress that has been made in science and technology during the last century is due in large part to the development of mathematics.