等長地図はなぜできないー地図と石鹸膜の数学

西川青季(2014):等長地図はなぜできないー地図と石鹸膜の数学, 日本評論社......Page 1 まえがき......Page 2 目次......Page 4 第1部 等長地図はなぜできない?......Page 8 1.1 地図投影法......Page 9 1.2 曲面とは?......Page 11 1.3 曲面の定義......Page 12 1.4 接平面......Page 17 1.5 座標変換......Page 19 2.1 接平面と内積......Page 21 2.2 リーマン計量......Page 25 2.3 曲面上の距離......Page 30 3.1 曲線の曲率......Page 33 3.2 曲面の場合......Page 35 3.3 ガウス曲率......Page 38 4.1 ガウスの驚異の定理......Page 46 4.2 等長地図......Page 52 4.3 等長地図は作れない......Page 55 第2部 等角地図はなぜできる?......Page 58 5.1 等長地図......Page 59 5.2 等角地図......Page 61 5.3 等角地図の例......Page 64 6.1 等角地図......Page 70 6.2 等温座標系......Page 72 6.3 回転面......Page 75 6.4 問題の設定......Page 78 7.1 等温座標系......Page 81 7.2 ガウスの定理......Page 82 7.3 形式的複素微分......Page 85 7.4 等温座標系の存在問題......Page 87 7.5 ベルトラミ方程式......Page 88 8.1 常微分方程式の場合......Page 95 8.2 ベルトラミ方程式の場合......Page 97 8.3 複素関数の積分表示......Page 100 9.1 関数空間......Page 109 9.2 不動点定理......Page 114 9.3 ベルトラミ方程式と逐次近似......Page 116 9.4 逐次近似法の実践......Page 121 10.1 積分方程式への帰着......Page 125 10.2 微分のヘルダー連続性......Page 131 11.1 ノルム空間......Page 137 11.2 積分作用素......Page 140 11.3 積分作用素の評価......Page 142 11.4 C^∞級の解の構成......Page 146 12.1 曲面と座標変換......Page 152 12.2 曲面の向きづけ......Page 154 12.3 リーマン面......Page 158 column メルカトル地図......Page 165 第3部 石鹸膜は張れるの?......Page 172 13.1 問題の起こり......Page 173 13.2 古典的プラトー問題......Page 176 13.3 変分法......Page 179 14.1 曲面の曲率......Page 185 14.2 曲面の面積......Page 187 14.3 面積の変分......Page 189 14.4 グラフ曲面の場合......Page 193 15.1 曲線の場合......Page 197 15.2 曲面の場合......Page 200 15.3 ディリクレの原理......Page 206 16.1 古典的プラトー問題......Page 210 16.2 エネルギー汎関数......Page 212 16.3 等温座標系の効用......Page 216 16.4 ダグラス-ラドーの解......Page 217 17.1 ダグラス-ラドーの解......Page 221 17.2 直接法の問題点......Page 223 17.3 調和関数とハルナックの定理......Page 226 17.4 エネルギーの収束......Page 231 18.1 ダグラス-ラドーの解の構成法......Page 234 18.2 3点条件......Page 237 18.3 同程度連続性の証明......Page 242 18.4 最後に......Page 246 付録A 位相の定義......Page 248 付録B 曲面の定義......Page 255 参考文献......Page 264 索引......Page 267