Automatique - Systèmes linéaires, non linéaires - 2e édition: Cours et exercices corrigés

Cet ouvrage s'adresse principalement aux tudiants en licences et masters EEA, ainsi qu'aux lves des coles d'ingnieurs. Grce son approche didactique il est tout fait accessible aux lves de classes prparatoires, d'IUT et de BTS. Vritable rfrence dans le domaine de l'automatique, cette seconde dition actualise aborde l'ensemble des notions les plus couramment enseignes (automatique des systmes linaires, des systmes non linaires, des systmes continus ou temps discret, reprsentation d'tat, systmes vnements discrets). Elle constitue un outil prcieux pour l'tudiant dsireux d'acqurir la matrise globale de la discipline. Les notions fondamentales sont illustres par de nombreux exemples et applications. Le cours est complt par des exercices et des problmes corrigs, qui permettront au lecteur d'aborder simple-ment et efficacement les concepts et d'acqurir suffisamment de savoir-faire thorique et pratique pour rsoudre avec succs n'importe quel problme d'automatique. Parmi les principales nouveauts de cette deuxime dition entirement revue et adapte aux plus rcentes exigences de cette discipline, figurent la modlisation GRAFCET des systmes vnements discrets ainsi qu'une introduction l'utilisation d'un logiciel de calcul formel : Mathematica. Table des Matières 3 AVANT-PROPOS 16 PREMIÈRE PARTIE MODÉLISATION DES SIGNAUX ET DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS 15 CHAPITRE 1 - MODÉLISATION DES SYSTÈMES LINÉAIRES. NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT 17 1.1 Introduction 17 1.2 Notion de signal 18 1.2.1 Signaux temporels 18 1.2.2 Principe de causalité 18 1.2.3 Signaux non temporels 18 1.3 Le cas des systèmes linéaires 19 1.4 La transformation de Laplace 19 1.4.1 Définition 19 1.4.2 Propriétés fondamentales de la transformation de Laplace 19 1.4.3 Transformée de Laplace inverse 22 1.5 Transformées de Laplace de quelques signaux usuels 23 1.5.1 Échelon unité 23 1.5.2 Rampe ou échelon de vitesse 23 1.5.3 Impulsion unitaire 24 1.5.4 Signal sinusoïdal 24 1.5.5 Signaux quelconques 25 1.6 Fonction de transfert d'un système 25 1.6.1 Définition 25 1.6.2 Mise en cascade de deux systèmes 26 1.6.3 Original d'une fonction de transfert 26 1.7 Résolution d'un problème à l'aide de la fonction de transfert 26 1.7.1 Principe 26 1.7.2 Exemples 27 EXERCICES 29 SOLUTIONS 31 CHAPITRE 2 - MODÉLISATION FRÉQUENTIELLE DES SIGNAUX TEMPORELS. NOTION DE SPECTRE 37 2.1 Description des signaux 37 2.1.1 L'exemple du signal sinusoïdal 37 2.1.2 Représentation d'un signal composé 38 2.1.3 Notion de spectre 38 2.2 Cas des signaux périodiques 39 2.2.1 Décomposition en série de Fourier 39 2.2.2 Exemple de calcul d'un spectre : signal en dents de scie 40 2.2.3 Décomposition en série de Fourier à l'aide de Mathematica 41 2.3 Cas des signaux non périodiques à énergie finie 42 2.3.1 Définition 42 2.3.2 Transformée de Fourier et spectre des signaux non périodiques à énergie finie 42 2.3.3 Exemple de calcul du spectre d'un signal non périodique à énergie finie 43 2.3.4 Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace 43 2.3.5 Égalité de Parseval 44 2.3.6 Calcul d'une transformée de Fourier à l'aide de Mathematica 45 EXERCICES 45 SOLUTIONS 48 CHAPITRE 3 - MODÉLISATION FRÉQUENTIELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS 55 3.1 Définitions 55 3.2 Diagrammes de Bode 56 3.2.1 Définition 56 3.2.2 Exemple : diagramme de Bode d'un système du premier ordre 56 3.3 Approche méthodique du tracé des Diagrammes de Bode 58 3.3.1 Objectif 58 3.3.2 Construction d'un diagrame de gain asymptotique 58 3.3.3 Méthode rapide 60 3.3.4 Cas particuliers 61 3.4 Diagramme de Nyquist 64 3.4.1 Définition 64 3.4.2 Méthode de tracé rapide 64 EXERCICES 65 SOLUTIONS 67 CHAPITRE 4 - ÉTUDE SYSTÉMATIQUE DES SYSTÈMES DU PREMIER ET DU SECOND ORDRE 78 4.1 Méthodes d'étude et définitions 78 4.2 Étude des systèmes du premier ordre 78 4.2.1 Mise en équation 78 4.2.2 Réponse à une impulsion de Dirac 79 4.2.3 Réponse indicielle 79 4.2.4 Réponse à une entrée en rampe 80 4.2.5 Étude fréquentielle d'un système d'ordre 15 4.3 Étude des systèmes du second ordre 84 4.3.1 Mise en équation 84 4.3.2 Réponse indicielle 84 4.3.3 Diagramme de Bode 86 4.3.4 Diagramme de Nyquist 93 SOLUTIONS 95 EXERCICES 94 DEUXIÈME PARTIE AUTOMATIQUE DES SYSTÈMES LINÉAIRES 101 CHAPITRE 5 - PROBLÉMATIQUE GÉNÉRALE DE L'AUTOMATIQUE. MISE EN ÉQUATION DES ASSERVISSEMENTS LIô1⁄2 103 5.1 Introduction 103 5.2 Inconvénients de la commande en boucle ouverte 103 5.3 Principe de la commande en boucle fermée 104 5.4 Modélisation d'une boucle de régulation 106 5.5 Le problème de la stabilité 107 5.6 Les performances d'un système régulé 107 EXERCICES 108 SOLUTIONS 112 CHAPITRE 6 - STABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES ASSERVIS 118 6.1 Critère mathématique de stabilité 118 6.1.1 Énoncé du critère de stabilité 118 6.1.2 Inconvénients du critère mathématique 120 6.2 Critère algébrique de Routh 120 6.2.1 Principe 120 6.2.2 Exemple 121 6.3 Critère de Nyquist 122 6.4 Critère du revers 127 6.5 Marges de stabilité 127 6.5.1 Concept de marge de stabilité 127 6.5.2 Marge de gain 128 6.5.3 Marge de phase 130 6.6 Influence du gain sur la stabilité 132 EXERCICES 133 SOLUTIONS 135 CHAPITRE 7 - PERFORMANCES DES SYSTÈMES LINÉAIRES ASSERVIS 141 7.1 Problématique générale 141 7.2 Précision d'un système asservi 142 7.2.1 Erreur statique ou erreur de position 142 7.2.2 Erreur de vitesse ou erreur de traînage 144 7.3 Rapidité des systèmes régulés 145 7.3.1 Définitions 145 7.3.2 Temps de montée d'un système du second ordre 147 7.3.3 Généralisation 149 7.4 Limitation du dépassement 149 7.4.1 Dépassement pour un système du second ordre 149 7.4.2 Relation entre la marge de phase et le dépassement en boucle fermée pour un système du second ordre 150 7.4.3 Généralisation 151 7.5 Influence du gain statique en boucle ouverte sur les performances en boucle fermée 151 7.6 Étude de cas 152 7.6.1 Énoncé du problème. Cahier des charges 152 7.6.2 Étude de la stabilité 153 7.6.3 Réglage du gain 153 7.6.4 Prédiction du temps de montée en boucle fermée 154 7.6.5 Conclusion 154 EXERCICES 155 SOLUTIONS 156 CHAPITRE 8 - CORRECTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES ASSERVIS 161 8.1 Cahier des charges d'un asservissement 161 8.2 Principe général de la correction d'un système 162 8.3 Actions correctives élémentaires 162 8.3.1 Correcteur proportionnel 162 8.3.2 Correcteur intégral 163 8.3.3 Correcteur à action dérivée 164 8.4 Inconvénient fondamental des actions correctives élémentaires 166 8.5 Action proportionnelle intégrale. Correcteur à retard de phase 167 8.6 Action proportionnelle dérivée. Correcteur à avance de phase 170 EXERCICES 173 SOLUTIONS 175 TROISIÈME PARTIE AUTOMATIQUE DES SYSTÈMES CONTINUS NON LINÉAIRES 185 CHAPITRE 9 - ANALYSE DES ASSERVISSEMENTS CONTINUS NON LINÉAIRES 187 9.1 Introduction 187 9.1.1 Généralités 187 9.1.2 Différents types de non-linéarités 187 9.2 Étude du domaine de linéarité d'un système 188 9.2.1 Le phénomène de saturation 188 9.2.2 Détermination du domaine de linéarité d'un système asservi 189 9.3 Caractéristiques de certains organes non linéaires 191 9.3.1 Systèmes tout ou rien 191 9.3.2 Systèmes à hystérésis 192 9.3.3 Caractéristiques complexes 192 9.4 Asservissements non linéaires séparables 193 9.5 Étude d'un système séparable par la méthode du premier harmonique 195 9.5.1 Principe 195 9.5.2 Gain complexe équivalent 195 9.5.3 Notion de lieu critique 196 9.5.4 Exemple 196 9.5.5 Justification de la méthode du premier harmonique 197 9.5.6 Méthode de calcul approché du gain complexe équivalent 197 EXERCICES 197 SOLUTIONS 199 CHAPITRE 10 - MÉTHODES D'ÉTUDE DES ASSERVISSEMENTS CONTINUS NON LINÉAIRES 203 10.1 Stabilité des systèmes non linéaires 203 10.1.1 Fonction de transfert généralisée 203 10.1.2 Principe de l'étude 204 10.1.3 Exemple 204 10.2 Méthode d'étude par le lieu de Cypkin 206 10.2.1 Principe 206 10.2.2 Exemple 207 10.3 Méthode du plan de phase 209 10.3.1 Principe 209 10.3.2 Tracé des trajectoires 209 10.3.3 Analyse des trajectoires et diagnostic du système 211 EXERCICES 212 SOLUTIONS 213 QUATRIÈME PARTIE AUTOMATIQUE DES SYSTÈMES ÉCHANTILLONNÉS 217 CHAPITRE 11 - MODÉLISATION DES SIGNAUX ET DES SYSTÈMES ÉCHANTILLONNÉS 219 11.1 Introduction 219 11.2 Principes fondamentaux de l'échantillonnage des signaux 220 11.2.1 Définition 220 11.2.2 Spectre d'un signal échantillonné 221 11.2.3 Théorème de Shannon 222 11.3 Exemples de signaux échantillonnés simples 222 11.3.1 Impulsion unité 222 11.3.2 Échelon unité 223 11.4 Transformée en z des signaux échantillonnés 224 11.4.1 Définition 224 11.4.2 Intérêt de la transformée en z 225 11.4.3 Propriétés de la transformée en z 225 11.4.4 Transformée en z de signaux usuels 226 11.4.5 Calculs de transformées en z à l'aide de Mathematica 227 11.5 Fonction de transfert en z 227 11.5.1 Relations entre échantillons de sortie et échantillons d'entrée 227 11.5.2 Définition de la fonction de transfert en z 229 11.5.3 Exemples de fonctions de transfert en z 230 11.6 Transformée de Fourier à temps discret 231 11.6.1 Définition 231 11.6.2 Exemple 231 11.7 Comportement fréquentiel des systèmes echantillonnés 233 11.7.1 Principes généraux 233 11.7.2 Exemple 233 11.8 Relations entre les modèles à temps continu et à temps discret 234 11.8.1 Problématique 234 11.8.2 Équivalence à la dérivation 235 11.8.3 Équivalence à l'intégration 237 11.8.4 Équivalence à la réponse impulsionnelle. Équivalence modale 237 11.8.5 Équivalence d'une association de plusieurs systèmes 238 EXERCICES 239 SOLUTIONS 242 CHAPITRE 12 - STABILITÉ ET PERFORMANCES DES SYSTÈMES ÉCHANTILLONNÉS ASSERVIS 253 12.1 Mise en équation des asservissements échantillonnés 253 12.1.1 Fonction de transfert en boucle fermée 253 12.1.2 Relation temps continu - temps discret en boucle fermée 254 12.2 Stabilité des asservissements échantillonnés 255 12.2.1 Critère mathématique de stabilité 255 12.2.2 Critère algébrique de Jury 257 12.2.3 Utilisation du critère de Routh 259 12.2.4 Influence de la fréquence d'échantillonnage sur la stabilité 259 12.3 Asservissements continus commandés ou corrigés en temps discret 261 12.3.1 Définition 261 12.3.2 Interfaçage entre un système discret et un système continu 261 12.3.3 Première méthode d'étude simple : recherche d'un système à temps continu équivalent 262 12.3.4 Deuxième méthode d'étude simple : recherche d'un système à temps discret équivalent 263 12.4 Précision des asservissements échantillonnés 263 12.4.1 Erreurs de position et de vitesse 263 12.4.2 Précision d'un système échantillonné du premier ordre 264 12.5 Performances dynamiques d'un système échantillonné 266 12.5.1 Fonction de transfert échantillonnée équivalente à un système du second ordre 266 12.5.2 Prévision des performances dynamiques 267 EXERCICES 270 SOLUTIONS 272 CHAPITRE 13 - CORRECTION DES SYSTÈMES ÉCHANTILLONNÉS ASSERVIS 288 13.1 Principes généraux 288 13.1.1 Rappel du cahier des charges d'un asservissement 288 13.1.2 Rôle du correcteur 288 13.1.3 Correction numérique d'un système à temps continu 289 13.1.4 Problèmes spécifiques liés aux correcteurs numériques 289 13.2 Tentatives d'actions correctives simples 290 13.2.1 Amélioration de la précision 290 13.2.2 Compensation de la perte de stabilité par placement des pôles 293 13.2.3 Action dérivée 294 13.3 Synthèse d'un correcteur numérique par discrétisation d'un correcteur continu 297 13.3.1 Principe 297 13.3.2 Exemple 298 13.4 Synthèse d'un correcteur numérique par méthode polynomiale 301 13.4.1 Principe 301 13.4.2 Exemple 302 EXERCICES 303 SOLUTIONS 304 CINQUIÈME PARTIE REPRÉSENTATION D’ÉTAT DES SYSTÈMES 309 CHAPITRE 14 - REPRÉSENTATION D'ÉTAT DES SYSTÈMES À TEMPS CONTINU 311 14.1 Définitions 311 14.1.1 État d'un système et variables d'état 311 14.1.2 Modélisation du fonctionnement du système 312 14.1.3 Cas général 313 14.2 Résolution des équations d'état 314 14.2.1 Étude préalable 314 14.2.2 Généralisation au système vectoriel 314 14.2.3 Calcul de la matrice de transition 314 14.2.4 Calcul de l'état d'un système en fonction d'un signal de commande 320 14.3 Commandabilité d'un système 321 14.3.1 Définitions 321 14.3.2 Critère de Kalman 322 14.3.3 Exemple 322 14.3.4 Calcul de la commande d'un système 323 14.3.5 Cas des systèmes non commandables 325 14.4 Observabilité de l'état d'un système 325 14.4.1 Définition 326 14.4.2 Critère d'observabilité 326 14.4.3 Cas des systèmes non observables 326 14.5 Relation entre la représentation d'état et la fonction de transfert d'un système 327 14.5.1 Représentation d'état à partir de la fonction de transfert 327 14.5.2 Calcul de la fonction de transfert à partir de la représentation d'état 333 EXERCICES 334 SOLUTIONS 336 CHAPITRE 15 - REPRÉSENTATION D'ÉTAT DES SYSTÈMES À TEMPS DISCRET 346 15.1 Principe général 346 15.1.1 Variables d'état en temps discret 346 15.1.2 Modélisation du fonctionnement du système 347 15.2 Résolution des équations d'état 348 15.2.1 Prédiction de l'état du système à un instant quelconque 348 15.2.2 Exemple 348 15.3 Commandabilité d'un système à temps discret 349 15.3.1 Accessibilité 349 15.3.2 Critère de commandabilité 349 15.4 Observabilité de l'état d'un système 350 15.4.1 Définition 350 15.4.2 Critère d'observabilité 350 15.4.3 Exemple 350 15.5 Relation entre la représentation d'état et la fonction de transfert d'un système 351 15.5.1 Représentation d'état à partir de la fonction de transfert 351 15.5.2 Calcul de la fonction de transfert à partir de la représentation d'état 354 15.6 Commande échantillonnée d'un système à temps continu 355 15.6.1 Comportement du système 355 15.6.2 Influence de la période d'échantillonnage sur l'observabilité et la commandabilité 356 EXERCICES 356 SOLUTIONS 358 CHAPITRE 16 - COMMANDE PAR RETOUR D'ÉTAT. ESTIMATEURS, OBSERVATEURS ET PRÉDICTEURS 361 16.1 Principe général de la commande par retour d'état 361 16.1.1 Vecteur de gain 361 16.1.2 Fonction de transfert en boucle fermée 362 16.1.3 Détermination du vecteur d'état 363 16.2 Commandabilité en modes en temps continu 363 16.2.1 Définition 363 16.2.2 Critère de commandabilité en modes 363 16.2.3 Cas des systèmes non commandables 364 16.2.4 Exemple de placement des pôles pour un système commandable 364 16.2.5 Exemple pour un système non commandable 365 16.3 Commandabilité en temps discret : réponse pile 366 16.3.1 Problématique 366 16.3.2 Résolution du problème 367 16.4 Observateurs et estimateurs d'état 368 16.4.1 Observateur asymptotique en temps continu 368 16.4.2 Prédicteur en temps discret 370 EXERCICES 371 SOLUTIONS 373 CHAPITRE 17 - SYSTÈMES À ÉVÉNEMENTS DISCRETS, LE MODÈLE GRAFCET 380 17.1 Définition 380 17.1.1 Les systèmes à événements discrets 380 17.1.2 Le modèle GRAFCET 380 17.1.3 Analyse du système 381 17.1.4 Notions d'entrées et de sorties 381 17.2 Principes de représentation 382 17.2.1 Notion d'étape et de liaison 382 17.2.2 Notion de transition 382 17.2.3 Exemple 383 17.2.4 Règles de construction d'un GRAFCET 383 17.3 Différents types d'action 385 17.3.1 Actions continues 385 17.3.2 Actions mémorisées 385 17.3.3 Actions conditionnelles 385 17.3.4 Actions temporisées 385 17.4 Évolution d'un GRAFCET 385 17.4.1 État initial d'un système 385 17.4.2 Règles de franchissement des transitions 385 17.4.3 Notion d'évolution fugace 387 17.5 Étude de cas 388 EXERCICES 390 SOLUTIONS 392 ANNEXE A - TABLE DES TRANSFORMÉES DE LAPLACE 396 ANNEXE B - ABAQUE DES RÉPONSES INDICIELLES D'UN SYSTÈME DU SECOND ORDRE 397 ANNEXE C - TABLE DES TRANSFORMÉES EN z 398 ANNEXE D - ÉQUIVALENCE ENTRE FONCTIONS DE TRANSFERT EN TEMPS CONTINU ET EN TEMPS DISCRET 400 ANNEXE E - FORMULAIRE 402 ANNEXE F - MEMENTO DE CALCUL MATRICIEL 405 Index 409