Arbeitsbuch zur linearen Algebra : Aufgaben, Lösungen und Vertiefungen

Dieses Arbeitsbuch enthält zahlreiche Aufgaben großer thematischer Breite und unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade – einschließlich vollständiger und ausführlicher Lösungen. Das Buch greift als optimale Ergänzung zum Lehrbuch __Lineare Algebra im algebraischen Kontext__ mit derselben Kapitelstruktur die dort genannten Aufgaben auf. Darüber hinaus ergänzt es weitere Übungen – zur Vertiefung oder um in neue Themen einzuführen. Es ist aber auch völlig unabhängig vom Lehrbuch nutzbar. Neben Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, deren Lösungsverfahren und -theorie, Matrizenrechnung und Determinanten finden sich auch Übungen zur Eigenwerttheorie, Matrixdiagonalisierung und -trigonalisierung, zu Vektorräumen und Homomorphismen sowie zu Bilinearformen. Darüber hinaus wird mit Aufgaben zu Markov-Ketten und linearen Differenzialgleichungssystemen die Anwendung der linearen Algebra auf andere Bereiche der Mathematik angesprochen. Ein separates Kapitel mit Minitests dient der schnellen Überprüfung des eigenen Wissens zu besonders zentralen Themen.Viele Aufgaben lassen sich ohne weitere Hilfsmittel lösen, während andere, vor allem praxisorientierte Problemstellungen, den Einsatz mathematischer Software nahelegen. Daher wird bei diesen Aufgaben der Lösungsweg durch den Einsatz von MATLAB® ergänzt. Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 6 Symbolverzeichnis 8 1 Algebraische Strukturen 10 1.1 Gruppen und Ringe 10 1.2 Restklassen und Körper 12 1.3 Vektorräume 20 1.4 Vertiefende Aufgaben 25 2 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten 30 2.1 Lineare Gleichungssysteme 30 2.2 Matrizenmultiplikation 42 2.3 Inversion von Matrizen 46 2.4 Regularität und Singularität 49 2.5 Faktorisierungen 50 2.6 Determinanten und Cramer’sche Regel 57 2.7 Invariantenteiler 68 2.8 Vertiefende Aufgaben 71 3 Erzeugung von Vektorräumen 75 3.1 Lineares Erzeugnis, Bild und Kern 75 3.2 Äquivalente Matrizen 82 3.3 Basiswahl und Koordinatenabbildung 84 3.4 Vertiefende Aufgaben 87 4 Lineare Abbildungen und Bilinearformen 102 4.1 Lineare Abbildungen 102 4.2 Bilinearformen, quadratische Formen und hermitesche Formen 116 4.3 Vertiefende Aufgaben 120 5 Produkte in Vektorräumen 134 5.1 Produkte im R3 134 5.2 Normen und Orthogonalität 141 5.3 Vertiefende Aufgaben 144 6 Eigenwerte und Eigenvektoren 150 6.1 Eigenwerte und Eigenräume 150 6.2 Änderung der Eigenwerte bei Matrixoperationen 166 6.3 Ähnlichkeit von Matrizen 169 6.4 Diagonalisierbare Endomorphismen 172 6.5 Adjungiertheit und symmetrische Matrizen 178 6.6 Vertiefende Aufgaben 188 7 Trigonalisierung und Normalformen 200 7.1 Grundlagen, ähnliche Matrizen und Normalformen 200 7.2 Jordan’sche Normalform 211 7.3 Vertiefende Aufgaben 219 8 Anwendungen 226 8.1 Orthogonale Entwicklung 226 8.2 Markov-Ketten 229 8.3 Lineare Differenzialgleichungssysteme 236 8.4 Vertiefende Aufgaben 240 9 Minitests 252 9.1 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Rang 252 9.2 Determinanten 258 9.3 Homomorphismen 260 9.4 Eigenwerte 264 9.5 Definitheit, Länge, Winkel und Orthogonalität 268 Literaturverzeichnis 272 Sachverzeichnis 273 Dieses Arbeitsbuch enthält zahlreiche Aufgaben großer thematischer Breite und unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade – einschließlich vollständiger und ausführlicher Lösungen. Das Buch greift als optimale Ergänzung zum Lehrbuch Lineare Algebra im algebraischen Kontext mit derselben Kapitelstruktur die dort genannten Aufgaben auf. Darüber hinaus ergänzt es weitere Übungen – zur Vertiefung oder um in neue Themen einzuführen. Es ist aber auch völlig unabhängig vom Lehrbuch nutzbar. Neben Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, deren Lösungsverfahren und -theorie, Matrizenrechnung und Determinanten finden sich auch Übungen zur Eigenwerttheorie, Matrixdiagonalisierung und -trigonalisierung, zu Vektorräumen und Homomorphismen sowie zu Bilinearformen. Darüber hinaus wird mit Aufgaben zu Markov-Ketten und linearen Differenzialgleichungssystemen die Anwendung der linearen Algebra auf andere Bereiche der Mathematik angesprochen. Ein separates Kapitel mit Minitests dient der schnellen Überprüfung des eigenen Wissens zu besonders zentralen Themen. Viele Aufgaben lassen sich ohne weitere Hilfsmittel lösen, während andere, vor allem praxisorientierte Problemstellungen, den Einsatz mathematischer Software nahelegen. Daher wird bei diesen Aufgaben der Lösungsweg durch den Einsatz von MATLAB® ergänzt. Front Matter ....Pages i-x Algebraische Strukturen (Laurenz Göllmann, Christian Henig)....Pages 1-20 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten (Laurenz Göllmann, Christian Henig)....Pages 21-65 Erzeugung von Vektorräumen (Laurenz Göllmann, Christian Henig)....Pages 67-93 Lineare Abbildungen und Bilinearformen (Laurenz Göllmann, Christian Henig)....Pages 95-126 Produkte in Vektorräumen (Laurenz Göllmann, Christian Henig)....Pages 127-142 Eigenwerte und Eigenvektoren (Laurenz Göllmann, Christian Henig)....Pages 143-192 Trigonalisierung und Normalformen (Laurenz Göllmann, Christian Henig)....Pages 193-218 Anwendungen (Laurenz Göllmann, Christian Henig)....Pages 219-244 Minitests (Laurenz Göllmann, Christian Henig)....Pages 245-264 Back Matter ....Pages 265-269 Neben Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, deren Loesungsverfahren und -theorie, Matrizenrechnung und Determinanten finden sich auch UEbungen zur Eigenwerttheorie, Matrixdiagonalisierung und -trigonalisierung, zu Vektorraumen und Homomorphismen sowie zu Bilinearformen.