Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band II: Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik

Dieser zweite Band des Arbeitsbuches Mathematik für Ingenieure folgt in seinem Aufbau der bewährten Konzeption des Arbeitsbuches zur Analysis: Nach einer Darstellung der Fakten werden diese durch ausführliche Bemerkungen ergänzend aufbereitet und erläutert. Anhand der zahlreichen Beispiele wird das gewonnene Grundverständnis vertieft und über die angeschlossenen Tests und Übungsaufgaben überprüft und angewendet. Das Angebot an aktiver Beschäftigung des Lesers mit den Themen schafft somit die Grundlage für ein erfolgreiches Lernen und Arbeiten in den Gebieten Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik. Title Page 3 Copyright Page 4 Vorwort 5 Vorwort zur dritten Auflage 6 Table of Contents 7 Differentialgleichungen 10 1 Gew ̈ohnliche Differentialgleichungen; Einf ̈uhrung und geometrische Betrachtungen 11 UBUNGEN 19 2 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung 21 I. Trennung der Ver ̈anderlichen 21 II. Substitution bei ̈ Ahnlichkeitsdifferentialgleichungen 23 III. Variation der Konstanten bei linearen Differentialgleichungen 24 IV. Substitution bei Bernoullischen Differentialgleichungen 26 V. Ansatz zur L ̈osung Riccatischer Differentialgleichungen 27 VI. L ̈osung exakter Differentialgleichungen 28 VII. L ̈osung durch ̈Ubergang zur Umkehrfunktion 31 UBUNGEN 32 3 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen 35 UBUNGEN 39 4 Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 40 I. Die Funktion y(x) tritt nicht direkt auf 40 II. Die unabh ̈angige Variable x tritt nicht direkt auf 41 III. Es treten x und y nicht auf 42 IV. Die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung 44 UBUNGEN 46 5 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n 47 UBUNGEN 57 6 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 59 UBUNGEN 67 7 Systeme von Differentialgleichungen 69 ̈UBUNGEN 75 8 Approximative L ̈osungsverfahren 77 UBUNGEN 82 9 Rand- und Eigenwertprobleme 83 ̈UBUNGEN 94 10 Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung 96 UBUNGEN 99 11 L ̈osungsmethoden bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung 101 I. L ̈osung des Dirichlet-Problems der Poisson-Gleichung 101 II. L ̈osung der Wellengleichung 106 III. L ̈osung der W ̈armeleitungsgleichung 110 UBUNGEN 114 12 Die Laplace-Transformation 116 TESTS 128 UBUNGEN 129 Funktionentheorie 130 13 Die komplexe Zahlenebene 131 TESTS 141 UBUNGEN 142 14 Komplexe Funktionen 143 TESTS 151 UBUNGEN 152 15 Differentiation 153 TESTS 160 ̈UBUNGEN 161 16 Konforme Abbildungen 162 TESTS 168 UBUNGEN 169 17 Integration 171 ̈UBUNGEN 180 18 Die Cauchyschen Integralformeln 182 TESTS 187 UBUNGEN 188 19 Potenz- und Laurent-Reihen 189 TESTS 198 UBUNGEN 200 20 Der Residuensatz 202 TESTS 209 ̈UBUNGEN 210 Numerische Mathematik 211 21 Direkte L ̈osung linearer Gleichungssysteme 212 UBUNGEN 233 22 Iterative L ̈osung linearer Gleichungssysteme 235 I. Das Gesamtschritt- oder Jacobi-Verfahren 238 II. Das Einzelschritt- oder Gauß-Seidel-Verfahren 240 III. Das SOR- oder Relaxations-Verfahren 242 IV. Die Nachiteration 245 UBUNGEN 247 23 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 249 UBUNGEN 258 24 L ̈osung nichtlinearer Gleichungen und Systeme 260 UBUNGEN 272 25 Interpolation und Approximation 273 UBUNGEN 285 26 Numerische Integration 287 I. Die geschlossenen Newton-Cotes-Formeln 288 II. Die offenen Newton-Cotes-Formeln 290 III. Die summierten Newton-Cotes-Formeln 290 IV. Romberg-Integration 294 UBUNGEN 297 27 Numerische Behandlung von Anfangswertproblemen gew ̈ohnlicher Differentialgleichungen 298 I. Die Rechteckregel 299 II. Die Trapezregel 300 III. Die Mittelpunktregel 301 IV. Die Simpson-Regel 302 UBUNGEN 307 28 Numerische Behandlung von steifen Differentialgleichungen 309 UBUNGEN 315 29 Numerische Behandlung von Randwertproblemen gew ̈ohnlicher Differentialgleichungen 317 I. Differenzenverfahren 317 II. Variationsverfahren und Finite Elemente 320 UBUNGEN 324 30 Numerische Behandlung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungen 326 I. Differenzenverfahren 326 II. Die Variationsmethode mit Finiten Elementen 330 UBUNGEN 334 31 Numerische Behandlung von Anfangs-Randwertproblemen partieller Differentialgleichungen 336 I. Das Cauchysche Anfangswertproblem der Wellengleichung 336 II. Das Anfangs-Randwertproblem der Wellengleichung 339 III. Die W ̈armeleitungsgleichung 341 UBUNGEN 344 Statistik 345 32 Beschreibende Statistik, Messreihen 346 TESTS 357 UBUNGEN 357 33 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit 361 TESTS 366 UBUNGEN 366 34 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabh ̈angigkeit 368 TESTS 373 UBUNGEN 373 35 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen 376 TESTS 385 UBUNGEN 385 36 Erwartungswert und Varianz 388 TESTS 394 UBUNGEN 394 37 Zentraler Grenzwertsatz und empirische Verteilungsfunktion 396 TESTS 403 UBUNGEN 403 38 Testverteilungen und Quantilapproximationen 406 TESTS 410 UBUNGEN 411 39 Sch ̈atzverfahren und ihre Eigenschaften 412 TESTS 415 UBUNGEN 416 40 Maximum-Likelihood-Sch ̈atzer 418 TESTS 423 UBUNGEN 423 41 Konfidenzintervalle 425 TESTS 430 UBUNGEN 430 42 Tests bei Normalverteilungsannahmen 432 TESTS 439 UBUNGEN 440 43 χ2 - Anpassungstests 442 TESTS 448 UBUNGEN 449 44 Einfache Varianzanalyse 450 TESTS 452 UBUNGEN 452 45 Sch ̈atzen und Testen bei der Regression 454 TESTS 458 UBUNGEN 458 L ̈osungen 460 Statistische Tabellen 501 Literaturverzeichnis 506 Index 507 Front Matter....Pages i-ix Front Matter....Pages 1-1 Gewöhnliche Differentialgleichungen; Einführung und geometrische Betrachtungen....Pages 2-11 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung....Pages 12-25 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen....Pages 26-30 Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung....Pages 31-37 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n ....Pages 38-49 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten....Pages 50-59 Systeme von Differentialgleichungen....Pages 60-67 Approximative Lösungsverfahren....Pages 68-73 Rand- und Eigenwertprobleme....Pages 74-86 Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung....Pages 87-91 Lösungsmethoden bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung....Pages 92-106 Die Laplace-Transformation....Pages 107-120 Front Matter....Pages 121-121 Die komplexe Zahlenebene....Pages 122-133 Komplexe Funktionen....Pages 134-143 Differentiation....Pages 144-152 Konforme Abbildungen....Pages 153-161 Integration....Pages 162-172 Die Cauchyschen Integralformeln....Pages 173-179 Potenz- und Laurent-Reihen....Pages 180-192 Der Residuensatz....Pages 193-201 Front Matter....Pages 202-202 Direkte Lösung linearer Gleichungssysteme....Pages 203-225 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme....Pages 226-239 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren....Pages 240-250 Lösung nichtlinearer Gleichungen und Systeme....Pages 251-263 Interpolation und Approximation....Pages 264-277 Numerische Integration....Pages 278-288 Numerische Behandlung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen....Pages 289-299 Numerische Behandlung von steifen Differentialgleichungen....Pages 300-307 Numerische Behandlung von Randwertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen....Pages 308-316 Numerische Behandlung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungen....Pages 317-326 Numerische Behandlung von Anfangs-Randwertproblemen partieller Differentialgleichungen....Pages 327-335 Front Matter....Pages 336-336 Beschreibende Statistik, Messreihen....Pages 337-351 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit....Pages 352-358 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit....Pages 359-366 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen....Pages 367-378 Erwartungswert und Varianz....Pages 379-386 Zentraler Grenzwertsatz und empirische Verteilungsfunktion....Pages 387-396 Testverteilungen und Quantilapproximationen....Pages 397-402 Schätzverfahren und ihre Eigenschaften....Pages 403-408 Maximum-Likelihood-Schätzer....Pages 409-415 Front Matter....Pages 336-336 Konfidenzintervalle....Pages 416-422 Tests bei Normalverteilungsannahmen....Pages 423-432 X 2 - Anpassungstests....Pages 433-440 Einfache varianzanalyse....Pages 441-444 Schätzen und testen bei der regression....Pages 445-450 Back Matter....Pages 451-505 Dieser zweite Band des Arbeitsbuches Mathematik für Ingenieure folgt in seinem Aufbau der bewährten Konzeption des Arbeitsbuches zur Analysis: Nach einer Darstellung der Fakten werden diese durch ausführliche Bemerkungen ergänzend aufbereitet und erläutert. Anhand der zahlreichen Beispiele wird das gewonnene Grundverständnis vertieft und über die angeschlossenen Tests und Öbungsaufgaben überprüft und angewendet. Das Angebot an aktiver Beschäftigung des Lesers mit den Themen schafft somit die Grundlage für ein erfolgreiches Lernen und Arbeiten in den Gebieten Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik Der zweite Band behandelt die Themen Differentialgleichung, Funktionentheorie, Numerik und Statistik. Das Konzept des Arbeitsbuchs ist so angelegt, dass zunächst die Fakten (Definitionen, Sätze usw.) dargestellt werden. Durch zahlreiche Bemerkungen und Ergänzungen werden die Fakten jeweils aufbereitet, erläutert und ergänzt. Die zahlreichen Beispiele fördern das Verständnis, das am Ende eines jeden Kapitels in Form von Tests und Übungsaufgaben überprüft werden kann. Zu den Tests und Übungsaufgaben sind die Lösungen angegeben. Der zweite Band behandelt die Themen Differentialgleichung, Funktionentheorie, Numerik und Statistik. Die zahlreichen Beispiele foerdern das Verstandnis, das am Ende eines jeden Kapitels in Form von Tests und UEbungsaufgaben uberpruft werden kann.