یادداشت‌های معادلات دیفرانسیل ۱

I Ecuaciones diferenciales ordinarias La estructura diferenciable de un espacio vectorial Conceptos básicos El haz de funciones diferenciables Espacio Tangente. Fibrado Tangente Campos tangentes Campos tangentes Campo tangente a soporte. Campo a soporte universal. Espacio cotangente. La diferencial Interpretación geométrica de la diferencial. Fibrado cotangente. Uno formas Campos gradiente. Sistemas de coordenadas Coordenadas Polares Coordenadas Roequis y cónicas Ecuaciones diferenciales Cambio de coordenadas. Ecuaciones diferenciales no autónomas. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ejemplos de ecuaciones diferenciales Problemas Geométricos Problemas Químicos. Desintegración. Problemas Económicos. Problemas Biológicos. Problemas Físicos. Problemas Arquitectónicos 1. La catenaria. Problemas Arquitectónicos 2. La parábola. Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales Grupo uniparamétrico Existencia de solución Aplicaciones Lipchicianas Unicidad de solución Grupo Uniparamétrico de un campo Grupo Unip. de campos subidos Diferenciabilidad del grupo unip. Clasificación local de campos no singulares. Campos completos Corchete de Lie de campos tangentes Derivada de Lie de campos tangentes Método de Lie para resolver ED Apéndice. La tractriz Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios Campos tensoriales en un espacio vectorial Tensores en un módulo libre Campos tensoriales en Rn Derivada de Lie de un campo tensorial Campos tensoriales Covariantes La diferencial exterior El Lema de Poincaré Aplicación. Factores de integración Ejemplos de tensores Tensor métrico del espacio euclídeo. Gradiente, divergencia y rotacional. Interpretación geométrica del rotacional. Tensores de torsión y de curvatura. Tensores de una variedad Riemanniana. El tensor de inercia. Sólido rígido La fuerza de coriolis. El tensor de esfuerzos. El tensor de deformación. Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios Campos tangentes lineales Ecuaciones diferenciales lineales Existencia y unicidad de solución Estructura de las soluciones El sistema homogéneo. El sistema no homogéneo. Reducción de una EDL Exponencial de matrices EDL con coeficientes constantes Clasificación de campos lineales EDL con coeficientes periódicos EDL de orden n con coeficientes constantes Caso homogéneo. Caso no homogéneo. EDL de orden n. Wronskiano Ecuación de Euler. EDL de orden 2 Ecuación de Riccati. Otros métodos para resolver EDL Método de las potencias. Método de Frobenius de las potencias. Método de la transformada de Laplace. La Ecuación de Bessel La Ecuación de Legendre. La Ecuación de Laguerre. Algunas EDL de la Física Problemas de mezclas. Problemas de muelles. Problemas de circuitos eléctricos. Las leyes de Kepler. Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios Estabilidad Introducción Linealización en un punto singular Estabilidad de puntos singulares Funciones de Liapunov Aplicaciones Sistemas tipo ``depredador–presa". Especies en competencia. Aplicación en Mecánica clásica. Clasificación topol. de las ED lineales Teorema de resonancia de Poincaré Cuenca de un sumidero La aplicación de Poincaré Estabilidad de órbitas cíclicas El Teorema de Poincaré–Bendixson Estabilidad de órbitas en el plano Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios II Ecuaciones en derivadas parciales Sistemas de Pfaff Introducción Sistemas de Pfaff y Distribuciones Sistemas de Pfaff. Distribuciones. El sistema característico El Teorema de la Proyección Campos tangentes verticales Proyecciones regulares El Teorema de Frobenius Método de Natani. 1–formas homogéneas. Aplicación: Tensor de curvatura Funciones especiales del fibrado tangente. Variedad con conexión. Distribución asociada. Aplicación: Termodinámica Aplicación: Clasificación de formas Clasificación de 1–formas Clasificación de 2–formas. Variedades simplécticas Campos Hamiltonianos. El Fibrado Cotangente. Fibrado de Jets de funciones de orden 1 Fibrado tangente de una var.Riemanniana. Mecánica Hamiltoniana. Problema de los dos cuerpos. Leyes de Kepler Ecuación de Kepler Los 5 puntos de Lagrange Apéndice: Variedades diferenciables Particiones de la unidad Inmersiones locales, subvariedades Variedades integrales máximas Otra demostración del Teorema de Frobenius Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden Definición clásica El cono de Monge EDP cuasilineales Ejemplo: Tráfico en una autopista. Ejemplo: Central telefónica. Ejemplo: El Proceso de Poisson. Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte. Sistema de Pfaff asociado a una EDP Campo característico. Teoremas de existencia y unicidad Dimensión de una subvariedad solución. Existencia de solución. El problema de Cauchy. Métodos para resolver una EDP Método de las características de Cauchy Método de la Proyección. Integral completa Método de Lagrange–Charpit. Método de la envolvente Envolvente de una familia de superficies. Envolvente de una familia de hipersuperficies. Método de la envolvente. Solución singular. Definición intrínseca Teoría de Hamilton–Jacobi Método de Jacobi. Ecuación de Hamilton–Jacobi. Geodésicas de una variedad Riemanniana. Introducción al cálculo de variaciones Ecuaciones de Euler–Lagrange. Ejemplo. La braquistócrona. Ecuaciones de Euler–Lagrange y Hamilton. Apéndice. La ecuación de Schrödinger Lagrangianas. Teorema de Noëther Transformada de Legendre. Ejemplo. Lagrangiana de la longitud Principio de Maupertuis Curvas de mínima acción y geodésicas El Teorema de Noëther. Cálculo de variaciones en Jets Jets de aplicaciones diferenciables Distribución canónica Apéndice. El Campo geodésico Subidas canónicas de un campo tangente. Variedad con conexión. Campo geodésico. Campo geodésico en una variedad Riemanniana. Ejemplo Apéndice. Teoría de Hamilton–Jacobi Apéndice. Óptica geométrica Ley de Snell Principio de Fermat Óvalo de Descartes Propiedad de refracción de las elipses Propiedades de reflexión de las elipses Trayectoria en un medio de índice variable Apéndice. Envolventes y cáusticas Epicicloide Catenaria Cicloide Apéndice: Proyecciones de la esfera La proyección estereográfica. Proyecciones de Mercator y de Gall–Peters Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios EDP de orden superior. Clasificación Definición clásica Operadores diferenciales lineales Corchete de Lie de operadores lineales. Restricción de un ODL. Expresión en coordenadas de un ODL. Caracterización del Operador de LaPlace Derivada de Lie de un ODL El símbolo de un ODL ODL de orden 2 en R2. Clasificación Operadores diferenciales lineales hiperbólicos. Operadores diferenciales lineales parabólicos. Campos y 1–formas complejas. Operadores diferenciales lineales elípticos. ODL de orden 2 en Rn. Clasificación El ODL de Laplace–Beltrami EDP de orden 2 en R2. Clasificación ODL asociado a una solución de una EDP. Reducción a forma canónica. Caso hiperbólico de una EDP cuasi–lineal. Reducción a forma canónica. Caso hiperbólico de una EDP de tipo general. Reducción a forma canónica. Caso elíptico. Clasificación de sistemas de EDP Reducción a forma diagonal de sistemas lineales hiperbólicos. Reducción a forma diagonal de sistemas cuasi–lineales hiperbólicos. Apéndice Transformada de Legendre. Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios El problema de Cauchy Sistemas de EDP de primer orden Curvas características Propagación de singularidades. Funciones analíticas reales Series de potencias. Series múltiples. Series múltiples de funciones. Funciones analíticas complejas Las ecuaciones de Cauchy–Riemann. Fórmula integral de Cauchy. Funciones analíticas n–dimensionales. El Teorema de Cauchy–Kowalewski EDP de tipo hiperbólico Método de las aprox. sucesivas Existencia de solución. Unicidad de solución. Dependencia de las condiciones iniciales. El problema de Goursat. El problema de valor inicial característico. Sistemas hiperbólicos La función de Riemann–Green Operador diferencial lineal adjunto. ODL adjuntos en el plano. El método de Riemann. Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios La Ecuación de Laplace El operador de LaPlace Expresión de en coordenadas Expresión de en coordenadas polares Expresión de en coordenadas esféricas Funciones armónicas Funciones armónicas en el plano Funciones armónicas y funciones analíticas. Transformaciones conformes. Transformaciones en Rn. Traslaciones, giros y homotecias. Transformaciones lineales. Inversiones respecto de esferas. Transformaciones en general. Potenciales puntuales. Potencial Newtoniano de una masa puntual. Potencial de una carga puntual. Potencial de un dipolo puntual. Potencial de una densidad de carga. Potencial superficial de capa simple. Potencial superficial de capa doble. Ecuación de Poisson (capa doble) Ecuación de Poisson (capa simple) Ecuación de Poisson. Densidad dependiente del tiempo Otros posibles potenciales. El problema de Dirichlet Los 3 Problemas. Principio del máximo. Unicidad Unicidad solución Ecuación de Poisson. Problema Dirichlet en un rectángulo Problema de Dirichlet en un disco Fórmula integral de Poisson. Polinomios de Tchebycheff. Problema de Dirichlet en la esfera Teoremas fundamentales Identidades de Green. Unicidad de solución en PVF Fórmula de representación de Green Teoremas del valor medio Recíproco del Teorema del valor medio Regularidad de las funciones armónicas Teorema de Picard Armónicos esféricos Principio de Dirichlet Introducción a las distribuciones Método de la función de Green El método de Perron Funciones subarmónicas Sucesiones de funciones armónicas Problema Dirichlet. Existencia de solución Funciones barrera Teorema de la aplicación de Riemann Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios La Ecuación de ondas La Ecuación de ondas unidimensional Series de Fourier. Solución de D'Alembert. Energía de la cuerda. Unicidad de solución de la ecuación de ondas. Aplicaciones a la música. La Ecuación de ondas bidimensional. La Ecuación de ondas n–dimensional. El método de separación de variables. Solución de la membrana vibrante. La desigualdad del dominio de dependencia. Unicidad de solución. Ecuación de ondas en regiones con frontera. El método del descenso. La Fórmula de Kirchhoff. El método del descenso. El principio de Huygens. Ecuación de Poisson Dalambertiana La Ecuación de Schrödinger. Ecuación de ondas. Electromagnetismo Relatividad especial de Einstein Espacio Euclideo Espacio de Minkowski D'Alembertiano Gradiente y divergencia D'Alembertiano y codiferencial Campo electromagnético Vector impulso Forma de carga Ecuaciones de Maxwell Ecuación de ondas Energía de una onda Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios La Ecuación del calor La Ecuación del calor unidimensional Varilla finita El principio del máximo. Solución en variables separadas. Solución con condiciones dadas. Varilla infinita El problema de valor inicial. Varilla semi–infinita. Aplicaciones Temperatura en el interior de la Tierra. Las tres leyes de Fourier. La Ecuación del calor n–dimensional. Caso bidimensional. Planteamiento. El método de separación de variables. Caso bidimensional. Algunas soluciones. Caso n-dimensional Ejercicios resueltos Bibliografía y comentarios Integración en variedades Orientación sobre una variedad Integración en una variedad orientada Variedades con borde El Teorema de Stokes Integración en var. Riemannianas Aplicaciones a la Física Interpretación física de la integral compleja La definición de Gauss de la curvatura El operador de Laplace–Beltrami El operador * de Hodge. El operador de Laplace–Beltrami Variedades complejas Estructuras casi–complejas Campos y 1–formas complejas Integrabilidad de una estructura casi–compleja