Applications of Jeu de Taquin to Representation Theory and Schubert Calculus

1 Title i 2 Abstract ii 3 Symmetric Functions 1 3.1 The Ring of Symmetric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3.2 Schur Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Applications to Representation Theory and Schubert Calculus 7 4.1 The Representation Theory of S n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2 Representation Theory of GL n (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 Schubert Calculus on the Grassmannian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 Jeu de Taquin and the Littlewood-Richardson Rule 13 5.1 Jeu de Taquin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 The Littlewood-Richardson Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.3 Growth Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6 Beyond Type A Grassmannians 18 6.1 (Co)Minuscule Flag Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.2 A Jeu de Taquin Procedure for (Co)Minuscule Flag Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.3 Example: Root Systems of Type A n−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.4 Example: Root Systems of Type B n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.5 Example: Root Systems of Type C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.6 Example: Root Systems of Type D n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32