Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I -- Theorie, Beispiele und Aufgaben zu den Grundlagen

Wissen Sie noch, was Vektoren sind und wie man mit ihnen rechnet? Wie man Gleichungssysteme löst oder eine Ebene im Raum beschreibt? Mit diesem Buch können Sie Ihr Wissen aus dem Mathematikunterricht der Oberstufe auffrischen und sich so auf ein Studium vorbereiten, in dem solide Grundkenntnisse der Schulmathematik benötigt werden. Durch die anschauliche Darstellung sowie die vielen Beispiele eignet sich das Werk aber auch hervorragend als Begleitmaterial zu einer einführenden Mathematikvorlesung. Neben ausführlichen, aber klaren Herleitungen erleichtern besonders die zahlreichen Übungsaufgaben mit Lösungen das Lesen und Lernen: Statt trockener Theorie steht hier immer das Üben und Verstehen im Vordergrund. Beweise und zusätzliche Erklärungen gehen außerdem teilweise über den Schulstoff hinaus, sodass Sie gleichzeitig behutsam an den hochschultypischen Lehr- und Lernstil herangeführt werden. In Band 1 liegt der Fokus auf Inhalten, die typischerweise im Mathematikunterricht der Abiturstufe behandelt werden: Lineare Gleichungssysteme, Vektoren, Geraden und Ebenen. Dieser Band wird durch einen zweiten ergänzt, der näher auf Themen wie Kreise, Kugeln und Kegelschnitte eingeht. Dipl.-Math. Jens Kunath hat lange an der BTU Cottbus-Senftenberg unterrichtet und ist zurzeit als freiberuflicher Mathematiklehrer in Südbrandenburg und Ostsachsen tätig. Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 11 Teil 1 Theorie, Beispiele und Aufgaben 14 Hinweise zu Aufbau und Notation 15 1 Lineare Gleichungssysteme 18 1.1 Lineare Gleichungen 18 1.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 25 1.2.1 Gleichsetzungsverfahren 25 1.2.2 Einsetzungsverfahren 26 1.2.3 Additionsverfahren 29 1.2.4 Überbestimmte Gleichungssysteme 35 1.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen 40 1.4 Systeme mit drei Variablen und der Gauß-Algorithmus 52 1.5 Lösung von Systemen mit beliebiger Variablenanzahl 67 2 Vektoren und ihre Eigenschaften 77 2.1 Punkte in der Ebene und im Raum 77 2.2 Vektoren 91 2.3 Addition und skalare Multiplikation im Vektorraum 101 2.4 Lineare (Un-) Abhängigkeit von Vektoren 116 2.5 Winkel zwischen Vektoren 141 2.6 Basis und Dimension 160 3 Geraden und Ebenen 173 3.1 Geradengleichungen 173 3.2 Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden 195 3.3 Ebenengleichungen 212 3.3.1 Parameterform der Ebenengleichung 212 3.3.2 Normalenform der Ebenengleichung 220 3.3.3 Koordinatenform der Ebenengleichung 226 3.3.4 Achsenabschnittsform der Ebenengleichung 233 3.3.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen 236 3.3.6 Ebenenscharen 241 3.4 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 245 3.4.1 Allgemeine Beziehungen 245 3.4.2 Schnittwinkel, Spurpunkte und Spurgeraden 258 3.5 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen 267 3.5.1 Rechnung mit beiden Ebenengleichungen in Parameterform 267 3.5.2 Rechnung mit Ebenengleichungen in verschiedenen Formen 272 3.5.3 Rechnung mit beiden Ebenengleichungen in Koordinatenform 276 3.5.4 Schnittwinkel 282 3.5.5 Spurgeraden 285 3.6 Abstandsberechnungen 288 3.6.1 Abstand zwischen Punkt und Gerade in der Ebene 288 3.6.2 Abstand zwischen Punkt und Gerade im Raum 297 3.6.3 Abstand zwischen Punkt und Ebene 304 3.7 Spiegelungen 314 3.7.1 Spiegelung eines Punkts an einem Punkt und an einer Gerade 314 3.7.2 Spiegelungen an einer Ebene 324 Teil 2 Lösungen der Aufgaben 333 Hinweise zu Aufbau und Notation 334 1 Lineare Gleichungssysteme 335 1.1 Lineare Gleichungen 335 1.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 336 1.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen 338 1.4 Systeme mit drei Variablen und der Gauß-Algorithmus 344 1.5 Lösung von Systemen mit beliebiger Variablenanzahl 347 2 Vektoren und ihre Eigenschaften 353 2.1 Punkte in der Ebene und im Raum 353 2.2 Vektoren 361 2.3 Addition und skalare Multiplikation im Vektorraum 363 2.4 Lineare (Un-) Abhängigkeit von Vektoren 370 2.5 Winkel zwischen Vektoren 380 2.6 Basis und Dimension 397 3 Geraden und Ebenen 401 3.1 Geradengleichungen 401 3.2 Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden 416 3.3 Ebenengleichungen 432 3.3.1 Parameterform der Ebenengleichung 432 3.3.2 Normalenform der Ebenengleichung 436 3.3.3 Koordinatenform der Ebenengleichung 438 3.3.4 Achsenabschnittsform der Ebenengleichung 440 3.3.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen 444 3.3.6 Ebenenscharen 447 3.4 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 451 3.4.1 Allgemeine Beziehungen 451 3.4.2 Schnittwinkel, Spurpunkte und Spurgeraden 465 3.5 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen 470 3.5.1 Rechnung mit beiden Ebenengleichungen in Parameterform 470 3.5.2 Rechnung mit Ebenengleichungen in verschiedenen Formen 472 3.5.3 Rechnung mit beiden Ebenengleichungen in Koordinatenform 475 3.5.4 Schnittwinkel 479 3.5.5 Spurgeraden 482 3.6 Abstandsberechnungen 486 3.6.1 Abstand zwischen Punkt und Gerade in der Ebene 486 3.6.2 Abstand zwischen Punkt und Gerade im Raum 490 3.6.3 Abstand zwischen Punkt und Ebene 496 3.7 Spiegelungen 505 3.7.1 Spiegelung eines Punkts an einem Punkt und an einer Gerade 505 3.7.2 Spiegelungen an einer Ebene 508 Symbolverzeichnis 512 Literaturverzeichnis 515 Sachverzeichnis 516 Front Matter ....Pages i-xiii Front Matter ....Pages 1-4 Lineare Gleichungssysteme (Jens Kunath)....Pages 5-63 Vektoren und ihre Eigenschaften (Jens Kunath)....Pages 65-160 Geraden und Ebenen (Jens Kunath)....Pages 161-320 Front Matter ....Pages 321-322 Lineare Gleichungssysteme (Jens Kunath)....Pages 323-340 Vektoren und ihre Eigenschaften (Jens Kunath)....Pages 341-388 Geraden und Ebenen (Jens Kunath)....Pages 389-499 Back Matter ....Pages 501-511