Analysis 1

Dieses Lehrbuch erleichtert den Einstieg in die Hochschulmathematik. Mit dem prägnanten Stil, dem klaren, systematischen Aufbau und mit Verständnis für die Schwierigkeiten des Anfängers wird eine solide Grundlage für das Studium geschaffen. Zunächst werden die grundlegenden Inhalte und Methoden der Analysis mit maßvoller Abstraktion dargestellt und an Hand von vielen sorgfältig durchgerechneten Beispielen illustriert. Ausführlich wird auf Reihenentwicklungen eingegangen, da sie eine entscheidende Rolle für das Verständnis der Analysis spielen. Wichtige Themen, die ebenfalls zum Verständnis nötig sind, die aber nicht zur reellen Analysis einer Variablen gehören, werden dagegen in Steilkursen im Anhang behandelt: Dazu gehören die Mengenlehre, der konstruktive Aufbau des Zahlensystems und die komplexen Zahlen. So dient das Buch durch seinen Blick für das wesentliche den Studierenden auch als ständiger Begleiter während des ganzen weiteren Studiums. Wegen der anschaulichen Darstellung der grundlegenden Themen der Analysis DER ideale Einstieg für die ersten Semester im Fach Mathematik! Vorbemerkungen zur axiomatischen Methode Vereinbarungen 0 Mengen, Relationen und Abbildungen 0.1 Naive Mengenlehre 0.2 Geordnete Paare und Relationen 0.3 Abbildungen 0.4 Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen 1 Grundlagen der Analysis 1.1 Die natürlichen Zahlen und das Induktionsprinzip 1.2 Abzählbarkeit 1.3 Körper 1.4 Angeordnete Körper 1.5 Das Archimedische Axiom 1.6 Folgen in einem angeordneten Körper 1.7 Vollständigkeit 2 Das System der reellen Zahlen 2.1 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen 2.2 Dezimalbruchentwicklung 2.3 Die allgemeine Potenz einer reellen Zahl 2.4 Weitere Vollständigkeitsprinzipien 2.5 Häufungswerte 2.6 Das erweiterte reelle Zahlensystem 3 Unendliche Reihen 3.1 Unendliche Reihen 3.2 Vergleichskriterien 3.3 Potenzreihen 3.4 Partielle Summation 3.5 Der Umordnungssatz 3.6 Doppelfolgen 3.7 Doppelreihen 3.8 Produkte von Reihen 4 Stetige Funktionen einer Variablen 4.1 Reelle Funktionen 4.2 Polynome und rationale Funktionen 4.3 Der Limes einer Funktion 4.4 Stetige Funktionen 4.5 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen 4.6 Monotone Funktionen 4.7 Gleichmäßige Konvergenz 4.8 Der Weierstraßsche Approximationssatz 4.9 Reihen von Funktionen 5 Differentialrechnung einer Variablen 5.1 Differenzierbare Funktionen einer Variablen 5.2 Ableitungsregeln 5.3 Kurvendiskussion und der Mittelwertsatz 5.4 Die de L’Hospitalschen Regeln 5.5 Differentiation von Folgen und Reihen 5.6 Höhere Ableitungen und die Taylorsche Formel 5.7 Lokale Extrema 5.8 Konvexität 6 Die elementaren transzendenten Funktionen 6.1 Die Exponentialfunktion 6.2 Die Hyperbelfunktionen 6.3 Der Logarithmus 6.4 Die allgemeine Potenz 6.5 Die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus 6.6 Tangens und Cotangens 6.7 Die Arcusfunktionen 6.8 Polarkoordinaten 7 Integralrechnung 7.1 Stammfunktionen 7.2 Grundintegrale 7.3 Partielle Integration und Substitution 7.4 Integration rationaler Funktionen 7.5 Klassen elementar integrierbarer Funktionen 8 Das Riemannsche Integral 8.1 Das Riemann-Darbouxsche Integral 8.2 Die Riemannsche Definition 8.3 Klassen integrierbarer Funktionen 8.4 Eigenschaften integrierbarer Funktionen 8.5 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 8.6 Integralformeln 8.7 Uneigentliche Integrale 8.8 Das Integralkriterium und Anwendungen 8.9 Grenzwertsätze A Mengensysteme, Relationen und Partitionen A. 1 Mengensysteme A. 2 Indizierte Familien A. 3 Äquivalenzrelationen und Partitionen A. 4 Ordnungsrelationen B Konstruktion der reellen Zahlen B. l Cauchy-Folgen in einem angeordneten Körper B. 2 Definition der reellen Zahlen B. 3 Der angeordnete Körper der reellen Zahlen B. 4 Der Dedekindsche Satz B. 5 Das Hilbertsche Programm C Elementare komplexe Analysis C. 1 Komplexe Zahlen C.2 Unendliche Reihen komplexer Zahlen C.3 Komplexe Polynome und rationale Funktionen C. 4 Komplexe Funktionen C.5 Komplex differenzierbare Funktionen C.6 Die Exponentialfunktion C.7 Die trigonometrischen Funktionen C.8 Der Logarithmus und die allgemeine Potenz C.9 Der Fundamentalsatz der Algebra C.10 Integration komplexer Funktionen C.11 Integration komplex-wertiger Funktionen Literaturverzeichnis Index Dieses Lehrbuch erleichtert den Einstieg in die Hochschulmathematik. Mit dem prägnanten Stil, dem klaren, systematischen Aufbau und mit Verständnis für die Schwierigkeiten des Anfängers wird eine solide Grundlage für das Studium geschaffen. Es dient durch seinen Blick für das Wesentliche dem Studierenden aber auch als ständiger Begleiter während des ganzen weiteren Studiums