Analysis 1 1

Bereits In 6. Auflage Präsentiert Das Erfolgreiche Lehrbuch Den Kanon Der Analysis Einer Veränderlichen. Durch Die Zahlreichen Beispiele Und Und Übungsaufgaben Mit Lösungen Eignet Es Sich Bestens Als Begleit-literatur Zu Einer Vorlesung, Zum Selbststudium Und Zur Prüfungsvorbereitung. Die Vielen Historischen Anmerkungen Und Eingestreuten Perlen Der Klassischen Analysis Geben Diesem Lehrbuch Seinen Besonderen Reiz. Cover page Inhaltsverzeichnis 1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten 1.3 Aufgaben 2 Reelle Zahlen 2.1 Die Körperstruktur von IR 2.2 Die Anordnung von IR 2.3 Die Vollständigkeit von IR 2.4 IR ist nicht abzählbar 2.5 Aufgaben 3 Komplexe Zahlen 3.1 Der Körper der komplexen Zahlen 3.2 Die komplexe Zahlenebene 3.3 Algebraische Gleichungen 3.4 Die Unmöglichkeit einer Anordnung der komplexen Zahlen 3.5 Aufgaben 4 Funktionen 4.1 Grundbegriffe 4.2 Polynome 4.3 Rationale Funktionen 4.4 Aufgaben 5 Folgen 5.1 Konvergenz von Folgen 5.2 Rechenregeln 5.3 Monotone Folgen 5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln 5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß 5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von IR 5.7 Uneigentliche Konvergenz 5.8 Aufgaben 6 Reihen 6.1 Konvergenz von Reihen 6.2 Konvergenzkriterien 6.3 Summierbare Familien 6.4 Potenzreihen 6.5 Aufgaben 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte 7.1 Stetigkeit 7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen 7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen 7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz 7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Der Satz vom Maximum und Minimum 7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra 7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen 7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte 7.9 Aufgaben 8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen 8.1 Definition der Exponentialfunktion 8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente 8.3 Der natürliche Logarithmus 8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe 8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen 8.7 Nullstellen und Periodizität 8.8 Die Arcus-Funktionen 8.9 Polarkoordinaten komplexer Zahlen 8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens 8.11 Die Zahl Pi 8.12 Die hyperbolischen Funktionen 8.13 Aufgaben 9 Differentialrechnung 9.1 Die Ableitung einer Funktion 9.2 Ableitungsregeln 9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz 9.4 Beispiele und Anwendungen 9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen 9.6 Ableitungen höherer Ordnung 9.7 Konvexität 9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen 9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz 9.10 Der Begriff der Stammfunktion 9.11 Eine auf ganz IR. stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion 9.12 Aufgaben 10 Lineare Differentialgleichungen 10.1 Eindeutigkeitssatz und Dimensionsabschätzung 10.2 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung 10.3 Partikuläre Lösungen bei speziellen Inhomogenitäten 10.4 Anwendung auf Schwingungsprobleme 10.5 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten 10.6 Erweiterung des Lösungsbegriffes 10.7 Aufgaben 11 Integralrechnung 11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration 11.2 Regelfunktionen 11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle 11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen 11.5 Erste Anwendungen 11.6 Integration elementarer Funktionen 11.7 Integration normal konvergenter Reihen 11.8 Riemannsche Summen 11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle 11.10 Die Eulersche Summationsformel 11.11 Aufgaben 12 Geometrie differenzierbarer Kurven 12.1 Parametrisierte Kurven. Grundbegriffe 12.2 Die Bogenlänge 12.3 Parameterwechsel 12.4 Krümmung ebener Kurven 12.5 Die Sektorfläche ebener Kurven 12.6 Kurven in Polarkoordinaten 12.7 Liftung und Windungzahlen 12.8 Noch ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra 12.9 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze 12.10 Aufgaben 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen 13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen 13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen 13.3 Nicht-lineare Schwingungen. 13.4 Aufgaben 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen 14.1 Approximation durch Taylorpolynome 14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen 14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe. Bernoulli-Polynome 14.4 Das Newton-Verfahren 14.5 Aufgaben 15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz 15.1 Gleichmäßige Konvergenz 15.2 Vertauschungssätze 15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz 15.4 Anwendung: die Eu1erschen Formeln für die Zeta-Funktion 15.5 Approximation durch Faltung mit Dirac-Folgen 15.6 Lokal gleichmäßige Konvergenz. Der Überdeckungssatz von Heine-Borel 15.7 Der Approximationssatz von Stone 15.8 Aufgaben 16 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen 16.1 Der Approximationssatz von Fejer 16.2 Definition der Fourierreihen. Erste Beispiele und Anwendungen 16.3 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet 16.4 Ein Beispiel von Fejer 16.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen 16.6 Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen 16.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsehe Gleichung 16.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem 16.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion 16.10 Die Poissonsche Summenformel 16.11 Aufgaben 17 Die Gammafunktion 17.1 Die Gammafunktion nach Gauß 17.2 Der Eindeutigkeitssatz der Gammafunktion von Bohr und Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung 17.3 Die Stirlingsche Formel 17.4 Aufgaben Biographische Notiz zu Euler Lösungen zu den Aufgaben Literatur Bezeichnungen Namen- und Sachverzeichnis Dieses Lehrbuch, das bereits in der 6. Auflage vorliegt, wendet sich an Studierende der Mathematik, Physik und Informatik. Es präsentiert systematisch und prägnant den Kanon der Analysis für das erste Studienjahr inklusive Fourierreihen und einfacher Differentialgleichungen. Großer Wert wird auf sachbezogene Motivation und erläuternde Beispiele gelegt. Nahezu 250 Übungsaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades mit ausgearbeiteten Lösungen ergänzen den Lehrtext. Einen besonderen Reiz erhält das Buch durch die zahlreichen historischen und biographischen Anmerkungen sowie die eingestreuten Perlen der klassischen Analysis Band 1 des zweibändigen Grundlagenwerkes enthält den Stoff, der üblicherweise im ersten Semester einer einführenden Analysis-Vorlesung für Mathematiker, Physiker und Informatiker geboten wird. Didaktisch geschickt geht der Autor auch auf interessante Anwendungen in der Computermathematik ein. Darüber hinaus behandelt jedes Kapitel knapp die geschichtlichen Entwicklungen - eine Fundgrube für historisch Interessierte. Die hervorragende Didaktik und zahlreichen Übungsaufgaben machen das Buch zum idealen Vorlesungsbegleiter Durch die zahlreichen Beispiele und und UEbungsaufgaben mit Loesungen eignet es sich bestens als Begleit-Literatur zu einer Vorlesung, zum Selbststudium und zur Prufungsvorbereitung. Die vielen historischen Anmerkungen und eingestreuten Perlen der klassischen Analysis geben diesem Lehrbuch seinen besonderen Reiz.