Analyse fondamentale. Espaces métriques, topologiques et normés: Avec exercices résolus, licence 3, master mathématiques (HR.METHODES) (French Edition)

Cet ouvrage, utile aux étudiants en dernière année de Licence et en Master de mathématiques, et autres filières scientifiques, présente dans un premier temps les faits fondamentaux sur les espaces métriques, vectoriels et normés, précédés d'une esquisse de la théorie des ensembles. Les principales classes des espaces métriques (séparables, compacts, complets, connexes et disconnexes) y sont traitées de façon détaillée. Le volume est conçu de telle sorte qu'on puisse limiter la lecture aux aspects métriques ou bien l'élargir aux concepts topologiques généraux. Les annexes sur les espaces topologiques compacts et sur la métrisation permettent un approfondissement ultérieur. De même, les chapitres traitant les faits essentiels sur les espaces normés et la théorie spectrale sont accompagnés d'une annexe approfondie consacrée aux espaces fonctionnels. La présentation est enrichie d'informations concises sur les origines et les développements récents des concepts. Plusieurs sujets sont abordés de manière originale : par exemple l'application des partitions aux caractérisations des espaces métrisables. Title ......Page 5 Introduction ......Page 7 Table des matières ......Page 11 1. Motivation ......Page 15 2. Fondements ......Page 16 3. Relations, applications ......Page 19 4. Suites ......Page 22 5. Cardinalité ......Page 25 6. Le continu ......Page 29 Exercices ......Page 31 1. Métriques, boules, voisinages ......Page 37 2. Convergence des suites ......Page 41 3. Continuité métrique ......Page 44 4. Produits dénombrables des espaces métriques ......Page 47 5. Intérieur, fermeture, ouverts et fermés ......Page 49 6. Adhérence de suite ......Page 52 Exercices ......Page 53 Chapitre III. Espaces topologiques ......Page 57 1. Topologies ......Page 58 2. Séparation, régularité, normalité ......Page 61 3. Convergence des suites ......Page 63 4. Continuité topologique ......Page 66 5. Treillis des topologies ......Page 67 6. Séparation fonctionnelle ......Page 69 7. Topologies métrisables ......Page 72 8. Sous-espaces ......Page 75 9. Produits ......Page 76 10. Plongements ......Page 79 11. Quotients ......Page 81 12. Éventail séquentiel ......Page 83 Exercices ......Page 84 1. Espaces métriques séparables ......Page 91 Exercices ......Page 94 1. Compacité en termes des suites ......Page 95 2. Compacité en termes des recouvrements ......Page 100 3. Prolongements des applications continues ......Page 101 4. Compacité dans des espaces fonctionnels ......Page 102 5. Théorème de Stone-Weierstrafi ......Page 105 Exercices ......Page 107 1. Espaces métriques complets ......Page 111 2. Complétude des espaces fonctionnels ......Page 114 3. Complétion ......Page 116 4. Espaces complètement métrisables ......Page 117 5. Espaces métriques localement compacts ......Page 118 6. Points fixes ......Page 120 Exercices ......Page 121 Chapitre VIL Espaces métriques connexes et disconnexes ......Page 125 1. Espaces métriques connexes ......Page 126 2. Composantes et quasi-composantes ......Page 130 3. Espaces métriques zéro-dimensionnels ......Page 133 4. Espaces ultramétriques ......Page 135 5. Espace de Baire ......Page 138 Exercices ......Page 141 Chapitre VIII. Espaces vectoriels ......Page 147 1. Bases, dimension ......Page 148 2. Applications et formes linéaires ......Page 151 3. Prolongement des formes linéaires ......Page 154 4. Intérieur et fermeture algébriques ......Page 156 5. Séparation des convexes ......Page 159 Exercices ......Page 161 Chapitre IX. Espaces vectoriels normés ......Page 165 1. Espaces normés ......Page 166 2. Applications et formes linéaires continues ......Page 169 3. Conséquences du théorème de Hahn-Banach ......Page 171 4. Espaces normés de dimension finie ......Page 172 5. Duaux des espaces des suites ......Page 174 6. Espaces de Banach ......Page 176 7. Applications ouvertes et du graphe fermé ......Page 177 8. Familles uniformément bornées ......Page 180 9. Projections et quotients ......Page 181 10. Espaces des fonctions continues ......Page 182 11. Opérateurs adjoints ......Page 184 12. Topologies faibles ......Page 185 Exercices ......Page 186 2. Propriétés fondamentales ......Page 189 3. Projections orthogonales ......Page 190 4. Bases de Hilbert ......Page 193 5. Représentation des formes linéaires continues ......Page 194 Exercices ......Page 198 1. Inégalité variationnelle ......Page 199 2. Opérateurs compacts ......Page 201 3. Opérateurs de Hilbert-Schmidt ......Page 204 4. Résolvante, spectre, valeurs propres ......Page 206 5. Décomposition spectrale ......Page 207 6. Théorie de Sturm-Liouville ......Page 209 Exercices ......Page 215 1. Ordre ......Page 217 2. Bon ordre ......Page 218 3. Nombres ordinaux ......Page 220 4. Arithmétique des ordinaux ......Page 223 5. Nombres ordinaux-cardinaux ......Page 225 Exercices ......Page 227 1. Grilles ......Page 229 2. Filtres ......Page 230 3. Convergence des filtres ......Page 232 4. Compacité ......Page 233 5. Compacité versus compacité séquentielle ......Page 235 6. Topologie de Stone ......Page 236 7. Filtres de parties fonctionnellement fermées ......Page 239 8. Compactification de Cech-Stone ......Page 242 Exercices ......Page 248 1. Partitions ......Page 253 2. Topologies paracompactes ......Page 258 3. Fragmentations des partitions de l’unité ......Page 261 4. Théorèmes de métrisation ......Page 265 Exercices ......Page 267 1. Mesure et intégrale ......Page 269 2. Espaces normés des fonctions mesurables ......Page 272 3. Décomposition de Lebesgue et le théorème de Radon-Nikodym ......Page 274 4. Structure du dual de Lp ......Page 276 5. Structure des duaux de Lqo et de C(K ......Page 278 Exercices ......Page 281 I. Théorie des ensembles ......Page 283 IL Espaces métriques ......Page 291 III. Espaces topologiques ......Page 300 IV. Espaces métriques séparables ......Page 314 V. Espaces métriques compacts ......Page 315 VI. Espaces métriques complets ......Page 321 VII. Espaces métriques connexes et disconnexes ......Page 328 VIII. Espaces vectoriels ......Page 338 IX. Espaces vectoriels normés ......Page 343 X. Espaces de Hilbert ......Page 352 XI. Théorie spectrale ......Page 354 A. Nombres ordinaux ......Page 357 B. Espaces topologiques compacts ......Page 360 C. Métrisation ......Page 368 D. Espaces normés fonctionnels ......Page 371 Index ......Page 375 Bibliographie ......Page 381 Deuxieme Edition Revue Et Augmentee Http: //dolecki.perso.math.cnrs.fr/index.html Cet Ouvrage, Utile Aux Etudiants En Derniere Annee De Licence Et En Master De Mathematiques, Et Autres Filieres Scientifiques, Presente Dans Un Premier Temps Les Faits Fondamentaux Sur Les Espaces Metriques, Vectoriels Et Normes, Precedes D'une Esquisse De La Theorie Des Ensembles. Les Principales Classes Des Espaces Metriques (separables, Compacts, Complets, Connexes Et Disconnexes) Y Sont Traitees De Facon Detaillee. Le Volume Est Concu De Telle Sorte Qu'on Puisse Limiter La Lecture Aux Aspects Metriques Ou Bien L'elargir Aux Concepts Topologiques Generaux. Les Annexes Sur Les Espaces Topologiques Compacts Et Sur La Metrisation Permettent Un Approfondissement Ulterieur. De Meme, Les Chapitres Traitant Les Faits Essentiels Sur Les Espaces Normes Et La Theorie Spectrale Sont Accompagnes D'une Annexe Approfondie Consacree Aux Espaces Fonctionnels. La Presentation Est Enrichie D'informations Concises Sur Les Origines Et Les Developpements Recents Des Concepts. Plusieurs Sujets Sont Abordes De Maniere Originale: Par Exemple L'application Des Partitions Aux Caracterisations Des Espaces Metrisables.