تحلیل ۱

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par la notion de limite d'une suite ou d'une série numérique et son application à la représentation décimale des nombres, en poursuivant avec la notion de fonction continue et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par la définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un point de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter. INTRODUCTION......Page 4 Les axiomes de l'arithmétique......Page 5 La relation d'ordre......Page 8 L'axiome de la borne supérieure......Page 10 Exercices......Page 14 Raisonnements par récurrence......Page 16 Exposants rationnels......Page 19 Exercices......Page 22 Limite d'une suite......Page 25 L'infini en analyse......Page 30 Existence de la limite......Page 32 Exercices......Page 37 Convergence des séries numériques......Page 41 Développements décimaux......Page 45 Exercices......Page 50 La notion de continuité......Page 54 Polynômes......Page 57 Exercices......Page 61 Propriété des ensembles ouverts......Page 63 Propriété des valeurs intermédiaires......Page 64 Propriété des valeurs extrêmes......Page 66 Fonctions inverses......Page 68 Exercices......Page 69 La dérivée......Page 72 Calcul des dérivées......Page 74 Exercices......Page 78 Le théorème des accroissements finis......Page 81 Extremums relatifs et absolus......Page 82 La règle de L'Hospital......Page 86 La méthode de Newton......Page 89 Exercices......Page 91 La notion de convexité......Page 94 Fonctions dérivables convexes......Page 96 Exercices......Page 98