Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais

DESCRIÇÃO Foi com a criação do cálculo diferencial e integral, no século XVII, que começou o estudo das equações diferenciais. A investigação nesta área foi guiada por suas aplicações à mecânica das partículas. Tais aplicações incluíram o uso das três leis de Newton da Dinâmica e da lei da gravitação universal. A partir de então foi possível obter equações diferenciais que representam os fenômenos em estudo. Como as equações diferenciais parciais trazem dificuldades matemáticas em sua resolução, o autor mostra e desenvolve alguns métodos. Esses são indispensáveis para expor a resolução de algumas equações diferenciais parciais presentes em problemas da física matemática. Entre eles está o método de Fourier no primeiro capítulo. Também são discutidos uma teoria das séries de Fourier, os problemas de condução de calor em uma barra, os problemas para a equação unidimensional das ondas, a transformada de Fourier e o problema de Dirichlet. SOBRE O AUTOR Djairo Guedes de Figueiredo Natural de Limoeiro do Norte, Ceará, é Engenheiro Civil (UFRJ, 1956), Master of Science (NYU, 1958) e Doctor of Philosophy (NYU, 1961). Por vários anos foi Professor Titular das Universidades de Illinois e Brasília. Atualmente é Professor Titular da UNICAMP. Em 1965 e 1984 foi agraciado com bolsa da Fundação Guggenheim. É membro Titular da Academia Brasileira de Ciências, e Pesquisador 1A do CNPq desde 1985. Em 1992 foi premiado com a Bolsa de Reconhecimento Acadêmico “Zeferino Vaz”, pelo Conselho Universitário da UNICAMP e, em 1995 com a Grã Cruz da Ordem do Mérito Científico. Seu campo de pesquisa é a Teoria das Equações Diferenciais Parciais, tendo escrito várias monografias e artigos de pesquisa publicados em revistas especializadas no Brasil e no exterior. CONTEÚDO 1 Por que estudar séries de Fourier? 1 Condução do calor numa barra 2 Formulação matemática do problema da condução do calor Exercícios 2 Séries de Fourier 1 Funções periódicas 2 Convergência uniforme 3 Coeficientes de Fourier 4 Série de Fourier 5 Séries de Fourier de funções pares e ímpares 6 Cálculo de algumas séries de Fourier 7 Integração de séries de Fourier 8 Estimativas dos coeficientes de Fourier 9 Forma complexa da série de Fourier 10 Identidade de Parseval 11 Nota histórica Exercícios 2 Convergência das séries de Fourier 1 Classes das funções consideradas 2 Convergência pontual da série de Fourier 3 Lema de Riemann-Lebesque 4 Convergência pontual da série de Fourier (continuação) 5 Desigualdade de Bessel 6 Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski 7 Convergência uniforme da série de Fourier 8 Núcleos de Dirac 9 Teorema da aproximação de Weierstrass 10 O teorema de Fejér 11 Identidade de Parseval 12 Funções de variação limitada 13 Fenômeno de Gibbs 14 Problema isoperimétrico 15 Nota histórica Exercícios 4 Equação do calor 1 Condução do calor: barra com extremidades mantidas a 0oC 2 Condução do calor: barra sujeita a outras condições laterais 3 Condições de fronteira não homogêneas 4 Equação do calor não homogênea 5 Condução do calor em uma barra não homogênea 6 Unicidade de solução PVIF (4.1) 7 Variações da temperatura do solo Exercícios 5 Equação das ondas 1 Equação da corda vibrante 2 Resolução por séries de Fourier 3 Energia da corda vibrante 4 Harmônicos, frequência, amplitude 5 Corda dedilhada 6 Vibrações forçadas. Ressonância 7 Corda Infinita 8 Corda semi-infinita 9 Linhas de transmissão 10 Vibrações longitudinais de uma barra elástica 11 Soluções generalizadas à Sobolev** Exercícios 6 Transformada de Fourier e aplicações 1 À guisa de motivação 2 Definição da transformada de Fourier 3 Espaço L e transformada de Fourier em L 4 Produto de convolução 5 Teorema de Plancherel 6 Fórmula do somatório de Poisson e a equação do calor 7 Problema de Cauchy para a equação do calor 8 Condução do calor na barra semi-infinita Apêndice – Funções representadas por integrais Exercícios Respostas e sugestões aos exercícios Bibliografia Índice Remissivo