Algèbre et Géométrie

I GROUPES 9 1 La catégorie des groupes 11 1.1 Factorisation d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Loi de composition interne sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Homomorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Noyau et image d’un homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Indice d’un sous-groupe, théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 21 1.8 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.9 Factorisation des homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.10 Produit direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.11 Caractérisation du produit direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.12 Procédé de symétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.13 Sous-groupes de Z et de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.14 Sous-groupe engendré par un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.15 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Actions de groupes 39 2.1 Groupe agissant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Orbite, stabilisateur d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Action d’un groupe fini sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Théorème d’isomorphisme de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6 Produits semi-directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7 Caractérisation des produits semi-directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.8 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Groupes abéliens finis 59 3.1 Groupes cycliques, générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Homomorphismes entre groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Sous-groupes d’un groupe cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 Produit de deux groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5 Groupes d’ordre premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6 Décomposition cyclique d’un groupe abélien fini . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7 Groupes résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.8 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4 Le groupe symétrique 79 4.1 Décomposition d’une permutation en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 Cycles conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 Générateurs du groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.5 Non résolubilité du groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.6 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5 Sous-groupes de Sylow 91 5.1 Théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Structure de quelques groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.3 Groupes d’ordre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.4 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 II GEOMETRIE 103 6 Géométrie affine 105 6.1 Espace affine associé à un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2 Repères cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.4 Existence d’applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.5 Isomorphismes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.6 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.7 Sous-espaces affines en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.8 Sous-espaces affines et applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.9 Groupe affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.10 Groupe des homothéties et translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.11 Orientation d’un espace affine réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.12 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7 Barycentres en géométrie affine 133 7.1 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2 Applications affines et barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.3 Sous-espaces affines et barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.4 Repères affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.5 Espace affine hyperplan d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.6 Parties convexes d’un espace affine réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.7 Enveloppe convexe d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.8 Points extrémaux d’une partie convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.9 Sommets des polygones et polyèdres convexes . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.10 Les polyèdres convexes réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.11 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8 Géométrie affine euclidienne 153 8.1 Espaces affines euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.2 Rappels sur le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.3 Isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.4 Symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.5 Symétries glissées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.6 Isométries produits de symétries hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . 160 8.7 Groupe des isométries de E n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.8 Décomposition canonique d’une isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.9 Classification des isométries du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.10 Classification des isométries de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.11 Groupe des similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.12 Sous-groupes finis du groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . 171 8.13 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 III ANNEAUX 187 9 Généralités sur les anneaux 189 9.1 Les objets de cette catégorie mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.2 Les morphismes dans cette catégorie mathématique . . . . . . . . . . . . 192 9.3 Les sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.4 Sous-anneau engendré par une partie non vide . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.5 Idéaux d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.6 Intersection et somme d’idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.7 Quotient d’un anneau par un idéal bilatère . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.8 Idéaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.9 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.10 Corps des fractions d’un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9.11 Quotient par un idéal maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.12 Sous-corps premier d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.13 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 10 Anneaux de polynômes 213 10.1 Polynômes à coefficients dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 10.3 Fonction polynomiale et racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . 216 10.4 Dérivée formelle d’un polynôme, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . 217 10.5 Multiplicité d’une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 10.6 Un exemple: les polynômes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 10.7 Groupe K ⇤ lorsque K est un corps commutatif . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.8 Le polynôme d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.9 Résolution des équations du troisième degré . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.10 Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11 Anneaux principaux 237 11.1 Idéaux principaux, anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.2 Exemples classiques: les anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 11.3 Entiers d’un corps quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.4 Divisibilité dans un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.5 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.6 Anneau des entiers de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 11.7 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 11.8 Quotients dans les anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 11.9 Exercices du chapitre 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 IV Théorie des nombres 261 12 Arithmétique 263 12.1 Congruences, anneau Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.2 Théorèmes de Fermat-Euler et de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 12.3 Résidus quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 12.4 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 12.5 Nombres de Mersenne, nombres de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 12.6 Un pas vers le théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12.7 Equations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 12.8 Exercices du chapitre 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 13 Nombres algébriques 289 13.1 Eléments algébriques d’une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 13.2 Une application à l’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 13.3 Nombres transcendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 13.4 Le corps des nombres algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 13.5 Constructions à la règle et au compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 13.6 Quelques constructions à la règle et au compas . . . . . . . . . . . . . . . 298 13.7 Exercices du chapitre 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 14 Anneaux factoriels 307 14.1 Une généralisation des anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 14.2 Polynômes primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 14.3 Irréductibilité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 14.4 Anneau des polynômes sur un anneau factoriel . . . . . . . . . . . . . . . 312 14.5 Critère d’irréductibilité d’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 14.6 Irréductibilité des polynômes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . 317 INDEX 319