Algebra in der Grundschule: Muster und Strukturen ̶ Gleichungen ̶ funktionale Beziehungen (Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II) (German Edition)

Vor allem Muster und Strukturen, aber auch die Eigenschaften der Rechenoperationen, funktionale Beziehungen als auch Terme und Gleichungen bieten ein überraschend ergiebiges Kaleidoskop an Anknüpfungspunkten, algebraisches Denken im ganz alltäglichen Mathematikunterricht von der Jahrgangsstufe 1 an zu ermöglichen und anzustoßen. Das vorliegende Buch möchte dazu einladen, die Vielfalt algebraischer Aktivitäten zu entdecken und in Dokumenten von Kindern der Grundschule bis zur frühen Sekundarstufe I , die in „algebraischen Lernumgebungen“ entstanden sind, den Denkwegen und Entwicklungsschritten nachzuspüren. Vorwort 6 Inhaltsverzeichnis 8 1 Algebraisches Denken – eine Annäherung 11 1.1 Abgrenzung von Arithmetik und Algebra 12 1.2 Blick zurück nach vorn – Geschichte der Algebra 13 1.3 Zugänge und Wege zur Algebra 16 1.4 Warum der Weg zur Algebra steinig sein kann – Hinweise auf Einflussfaktoren 18 1.5 Beziehungen zwischen Arithmetik und Algebra 20 1.6 Warum algebraisches Denken fördern? 25 2 Muster und Strukturen – wegweisend für algebraisches Denken 29 2.1 Muster und Strukturen in Bildungsstandards und Lehrplänen 30 2.2 Muster und Strukturen in internationalen Standards 32 2.3 Muster regen das Denken an 35 2.4 Über Folgen nachdenken algebraisches Denken fördern 36 2.5 Formen- und Farbenmuster 38 2.6 Zahlenmuster 49 2.6.1 Mathematischer Hintergrund zu Zahlenfolgen 50 2.6.2 Aktivitäten zu Zahlenfolgen 52 2.6.3 Zahlenfolgen operativ verändern 55 2.6.4 Zahlenfolgen innerhalb anderer Aufgabenformate 58 2.7 Muster und Terme – Terme und Muster 67 2.7.1 Was siehst du? – Terme in Muster hineindeuten 67 2.7.2 Kann man das zeichnen? – Muster aus Termen entwickeln 72 2.7.3 Sind das jetzt ‚echte‘ Beweise? - Muster und Terme im Zusammenspiel 78 3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen 82 3.1 Gleichungen und das Gleichheitszeichen aus Sicht der Lernenden 82 3.2 Mathematische Begriffe und Hintergrund 86 3.3 Strukturen in Termen und Gleichungen sehen lernen – ‚Termbausteine‘ 90 3.4 Prozesse mit Konzeptideen – Lösungsverfahren linearer Gleichungen hinterfragen 97 3.5 Gleichwertigkeit herstellen 105 3.6 Zahlenspiele – Terme und Gleichungen ‚wirkungslos‘ variieren 110 3.6.1 Terme variieren 111 3.6.2 Gleichungen variieren 113 3.7 Gleichungen erfinden 116 3.8 Gleichwertigkeit beurteilen 119 3.9 Da stimmt was nicht – Gleichungen korrigieren 125 3.10 Bemerkungen zum Thema Gleichungen 129 4 Eigenschaften von Rechenoperationen und Beweisstrategien 132 4.1 Operation und Gegenoperation 134 4.2 Kommutativität 135 4.2.1 Kommutativität der Addition 135 4.2.2 Kommutativität der Multiplikation 140 4.3 Assoziativität 145 4.4 Distributivität 150 4.5 Mit Termen spielen - Konstanz erhalten 162 4.6 Bemerkungen zu Eigenschaften von Operationen - Algebra als bewusste Strategienutzung 171 5 Zur Bedeutung von Variablen 174 5.1 Eine kurze Geschichte der Variablen 175 5.2 Grundkonzepte von Variablen 176 5.2.1 Die Unbekannte – auf der Suche nach Mister X 178 5.2.2 Die Veränderliche – was passiert, wenn? 180 5.2.3 Variable als unbestimmte, allgemeine Zahl 181 5.3 Lernumgebungen zu Variablen als Unbekannte von Anfang an 183 5.3.1 Verbale und andere Zahlenrätsel 184 5.3.2 Die Unbekannte als ‚Behälter‘ 192 5.3.3 Die Bedeutung unlösbarer Rätsel 194 5.4 Variable variieren 198 5.5 Bemerkungen zu Variablen 199 6 Funktionale Beziehungen nutzen 205 6.1 Mathematische Hintergründe zu Funktionen 208 6.2 Funktionales Denken 209 6.3 Funktionale Beziehungen in verschiedenen Repräsentationen 211 6.4 Funktionale Beziehungen aufdecken – auf der Suche nach der Regel 214 6.4.1 Die Funktion entschlüsseln - rekursive und explizite Vorgehensweisen 216 6.4.2 Funktionale Beziehungen notieren 219 6.4.3 Eigene Regeln aufstellen und finden lassen 221 6.4.4 Grafische Repräsentation linearer Funktionen 223 6.5 Algebraisches Denken und Technik – Möglichkeiten von neuen und alten Technologien 226 6.5.1 Einsatz von Taschenrechnern 226 6.5.2 Einsatz von Tabellenkalkulationsprogrammen 228 6.6 Bemerkungen zu funktionalen Beziehungen 232 7 Schlussbemerkungen 234 7.1 Die Bedeutung der Lehrpersonen 234 7.2 Algebraisches Denken – auf dem Weg zu mathematischen Konzepten 238 Exkurs: Wege zur algebraischen Syntax 243 A Von Multiplikationstafeln zur algebraischen Symbolsprache – ‚Grid‘-Algebra 244 B Von Größenvergleichen zur algebraischen Symbolsprache – ‚Measure Up‘-Algebra 249 Anhang 254 Literatur 257 Bildnachweis 275 Index 278 Vor allem Muster und Strukturen, aber auch die Eigenschaften der Rechenoperationen, funktionale Beziehungen als auch Terme und Gleichungen bieten ein überraschend ergiebiges Kaleidoskop an Anknüpfungspunkten, algebraisches Denken im ganz alltäglichen Mathematikunterricht von der Jahrgangsstufe 1 an zu ermöglichen und anzustoßen. Das vorliegende Buch möchte dazu einladen, die Vielfalt algebraischer Aktivitäten zu entdecken und in Dokumenten von Kindern der Grundschule bis zur frühen Sekundarstufe I, die in {u201E}algebraischen Lernumgebungen? entstanden sind, den Denkwegen und Entwicklungsschritten nachzuspüren. Inhalt: Algebraisches Denken: eine Annäherung - Muster und Strukturen: wegweisend für algebraisches Denken - Lineare Gleichungen und Ungleichungen - Eigenschaften von Rechenoperationen und Beweisstrategien - Zur Bedeutung von Variablen - Funktionale Beziehungen nutzen Über die Autorin: Prof. Dr. Anna Susanne Steinweg leitet die Didaktik der Mathematik und Informatik an der Otto-Friedrich-Universität Bamberg. Zielgruppen: - Studierende für das Lehramt der Primarstufe und Sekundarstufe I - Dozierende der Mathematikdidaktik - Lehramtsanwärterinnen und Lehramtsanwärter mit Mathematik als Fach - Fach- und Studienseminare Mathematik der Primarstufe und Sekundarstufe I - Lehrkräfte der Primarstufe und Sekundarstufe I, die sich in Mathematik fortbilden wollen Front Matter....Pages i-ix Algebraisches Denken – eine Annäherung....Pages 1-18 Muster und Strukturen – wegweisend für algebraisches Denken....Pages 19-71 Lineare Gleichungen und Ungleichungen....Pages 73-122 Eigenschaften von Rechenoperationen und Beweisstrategien....Pages 123-164 Zur Bedeutung von Variablen....Pages 165-195 Funktionale Beziehungen nutzen....Pages 197-225 Schlussbemerkungen....Pages 227-235 Back Matter....Pages 237-278