Álgebra Comutativa em Quatro Movimentos

Sobre o livro Este livro é uma introdução ao estudo dos anéis comutativos voltada para leitores que estão no início da jornada pela fascinante área da matemática e não foi concebido para ser lido linearmente, de ponta a ponta, mas sim “navegando” segundo interesses e necessidades de cada leitor. Os pré-requisitos para este livro são poucos: em essência, um bom curso de Álgebra da graduação cobre bem mais do que o necessário para a leitura deste livro. Em todo caso, os apêndices apresentam de forma telegráfica tais pré-requisitos e o leitor poderá consultá-los para relembrar este ou aquele resultado ou mesmo aprendê-lo “on the fly” se este lhe for desconhecido. Anéis se fazem presentes no dia-a-dia não só dos matemáticos, mas também de pessoas comuns: na Culinária (anéis de cebola), no Transporte (anel rodoviário) e até mesmo em Hollywood (“O senhor dos anéis”, “Matrix” e “Corpo Fechado”)! ABOUT THE AUTHORS Herivelto Borges He graduated at USP, São Paulo, where he also obtained his Master’s degree. He decided to take a higher flight (literally) and moved to Texas University, Austin where he obtained his doctor degree under the guidance of Felipe Voloch, after a post-doctoral internship at UNICAMP he returned to his roots and became professor at USP in São Carlos. He works on algebraic curves defined on finite fields, not disregarding the applications to finite geometry and combinatorics. In his spare time he enjoys teaching algebra to his dog. Eduardo Tengan ET, as he is known by his friends because of his good mood and his personality of the “other world” had his talent for mathematics discovered early by the Mathematics Olympiads. After experiencing engineering course, he realized that he would like to take his interest in the Queen of Sciences for life. He obtained his doctors degrees at Emory University. Yes, he defended two theses: one on Graph Theory and the other on Algebra. He assures that the determining factor in the decision to face two doctorates was having watched an episode of a Japanese animation!!! Surprised? Those that know professor Tengan, aren’t. A professor at USP-São Carlos, he is one of the creators of the “Cool Stuff Seminar” at the Institute of Mathematical and Computer Sciences, which shows his vision of how mathematical study and research should be. Sumário Prefácio............................................................ iii 1 Nocturne............................................................ 1 1 Dando nomes aos bois................................................ 3 1.1 Notações. definições e convenções ................................ 3 1.2 Domínios. anéis reduzidos e anéis indecomponíveis................. 5 1.3 Ideais............................................................ 7 1.3.1 Ideais próprios e maximais...................................... 8 1.3.2 Operacoes com ideais.......................................... 10 1.4 Anel quociente....................................................11 1.5 Teorema Chinés dos Restos.........................................16 1.6 Módulos ..........................................................18 1.6.1 Sequencias exatas ............................................. 20 1.6.2 Operações sobre módulos ....................................... 21 1.7 Anéis e módulos graduados ....................................... 25 1.8 Exercícios ..................................................... 28 2 Anéis que aparecem na Natureza..................................... 31 2.1 Séries Formais................................................... 31 2.2 Inteiros Algébricos.............................................. 30 2.3 Variedades Algébricas............................................ 46 2.3.1 Conjuntos algébricos afins..................................... 46 2.3.2 Morfismos e anel de funcoes regulares ........................ 49 2.3.3 Equivalencia de Categorias .................................... 53 2.3.4 Conjuntos algébricos projetivos ............................... 59 2.4 Inteiros p-ádicos ............................................... 61 2.5 Exercícios ...................................................... 72 II Scherzo........................................................... 79 3 Ideais Primos e Espectro........................................... 81 3.1 Ideais primos.................................................... 81 32 Dimensão de Krull ................................................ 86 33 Topología de Zariski ............................................. 90 34 Exercícios ....................................................... 95 4 Localização........................................................ 97 4.1 Construcáo e propriedade universal... ........................... 97 4.2 O funtor localizado ............................................ 101 43 Como assassinar primos........................................... 104 4.4 Conexidade e Itedutibilidade.................................... 108 4.5 Anéis locais e lema de Nakayama................................. 111 4.6 Bases minimais ................................................. 113 4.7 Exercícios ..................................................... 117 5 Produto Tensorial .................................................119 5.1 Construção e Propriedades Básicas .............................. 119 5.2 O funtor mudanca de base........................................ 124 5.3 Produto Tensorial de Álgebras ...................................127 5.4 Fibras...........................................................130 5.5 Módulos e álgebras planas .......................................137 5.6 Exercícios ..................................................... 143 6 Anéis e Módulos Noetherianos ......................................145 6.1 Definições e propededades básicas .............................. 145 6.2 Teorema da base de Hilbert ..................................... 149 6.4 Exercícios ..................................................... 151 7 Anéis e Módulos Artinianos........................................ 157 7.1 Definiqóes e Propriedades Básicas................................157 7.2 Comprimento de múdulos ..........................................158 7.3 Estrutura de Anéis Artinianos....................................165 7.4 Exercícios ..................................................... 168 II Passacaglia ......................................................169 8 Extensões Finitas e Integrais..................................... 171 8.1 Definições e Propriedades Básicas............................... 171 8.2 Fibras de Extensões Finitas e Integrais......................... 175 8.3 Anéis normais e normalizado..................................... 178 8.4 Exercícios ......................................................184 9 Normalização e Nullstellensatz ....................................185 9.1 Teorema de normalização de Noether ............................. 185 9.2 Dimensão de dominios f.g. sobre corpos ......................... 188 9.3 Nullstellensatz..................................................191 9.4 NullstellenmsatZ ............................................... 193 9.5 Exercícios ..................................................... 196 10 Domínios de Dedekind e valorizações ..............................197 10.1 Valorizações discretas......................................... 198 10.2 Dominios de Dedekind .......................................... 203 10.3 Ordem.......................................................... 210 10.4 Exercícios..................................................... 212 11 Ação de Grupo e Going-down....................................... 213 11.1 Grupos agindo sobre um anel ................................... 213 11.2 Going-down ll ................................................. 216 11.3 Grupos de Decomposição e de Inércia ........................... 217 11.4 Aplicações em Teoría de Galois ................................ 223 1.5 Exercícios ..................................................... 225 12 Divisores de Zero e Primos Associados............................ 227 12.1 Suporte e anulador de um módulo................................ 227 12.2 Divisores de Zero e Primos Associados.......................... 229 12.3 Critério de normalidade de Serre .............................. 235 12.4 Decomposição Primária ......................................... 236 12.5 Exercícios..................................................... 238 IV Burlesque........................................................ 239 13 Anéis completos.................................................. 241 13.1 Topologia a-ádica e o teorema de Artin-Rees ................... 241 13.2 Anéis completos e henselianos ..................................244 13.3 Completamento de anéis noetherianos ........................... 258 13.4 Teorema de Preparação de Weierstrab ........................... 253 13.5 Exercícios..................................................... 256 14 Dimensão......................................................... 259 14.1 Algumas identidades binomials ..................................259 14.2 Polinômio de Hilbert-Samuel.................................... 262 14.3 Teorema de dimensão de Krull................................... 266 14.4 Dimensão de fibras............................................. 269 14.5 Anéis locais regulares......................................... 271 14.6 Exercícios..................................................... 273 15 Esquemas ........................................................ 274 15.1 Geometria com Categoria........................................ 277 15.1.1 Pré-feixes e Feixes......................................... 277 15.1.2 Espaços localmente anulares................................. 284 15.2 Esquemas ...................................................... 288 15.2.1 Feixe estrutural de um anél ................................ 289 15.2.2 Esquemas ................................................... 292 15.2.3 Exemplos ................................................... 295 15.2.4 Esquemas Projetivos ........................................ 298 15.3 Funtor de Pontas e Produto Fibrado ............................ 302 15.3.1 Funtor de pontos.......................................... 304 15.3.2 Produto Fibrado............................................ 308 15.4 Propriedades de esquemas ...................................... 310 15.5 Exercícios..................................................... 315 V Apêndices..........................................................319 A Fundamentos....................................................... 321 A.1 Topologia Geral..................................................321 A.1.2 Construindo novas topologias.................................. 323 A.1.2 Espaços métricos...............................................323 A.1.3 Propriedades ................................................. 326 A.1.4 Grupos topológicos............................................ 327 A.2 Categorias e Functores.......................................... 328 A.3 Limites......................................................... 333 A.4 Exercícios...................................................... 338 B Fatoração Única....................................................341 B.1 DE, DIP, DFU ................................................... 342 B.2 Exemplo: Inteiros de Gauss...................................... 346 B.3 Lema de Gauss................................................... 349 B.4 Módulos f.g. sobre DIPs..........................................353 B.5 Exercícios.......................................................354 C Teoria de Corpos.................................................. 355 C.1 Extensões Finitas e Algebricas de Corpos........................ 355 C.2 Extensões simples e fecho algébrico............................. 357 C.3 Extensões quase-Galois e lema fundamental....................... 360 C.4 Separabilidade ................................................. 365 C.5 Teoria de Galois................................................ 371 C.6 Teoria de Galois infinita....................................... 375 C.7 Traço e Norma................................................... 378 C.8 Discriminante................................................... 380 C.9 Extensões Transcendentes ....................................... 382 C.10 Exercícios..................................................... 383