Aléatoire: Introduction à la théorie et au calcul des probabilités (ECOLE POLYTECHNIQUE) (French Edition)

Ce livre introduit le concept de Probabilité, dont la puissance permet de modéliser d'innombrables situations où le hasard intervient. II est issu d'un cours donné en première année de l'Ecole Polytechnique et s'adresse à tous les élèves, quelle que soit leur filière d'origine. La modélisation probabiliste est fondamentale dans tous les domaines d'applications, qu'ils soient issus des sciences dures ou des sciences humaines, telles la physique, l'informatique et les réseaux de télécommunication, et plus récemment la finance, l'assurance, la biologie et la médecine. Cette liste n'est pas exhaustive mais reflète l'immense champ de développement de cette science mathématique et son emprise sur les grandes évolutions technologiques et sociologiques de notre monde. Pour pouvoir modéliser tant de situations de nature très différente où le hasard intervient, un cadre général abstrait est nécessaire, qui ne fut rigoureusement défini qu'en 1933 (le modèle probabiliste de Kolmogorov), nécessitant préalablement le développement de théories d'analyse importantes telles le calcul intégral et la théorie de la mesure. C'est ce grand écart entre l'apparente simplicité de certains problèmes probabilistes concrets et l'abstraction que nécessite leur résolution qui peut rendre le monde de l'aléatoire difficile ou inquiétant, mais c'est aussi ce qui en fait un domaine mathématique fascinant et palpitant. Le but de ce livre est d'en convaincre le lecteur, par une introduction qui se veut simple et lumineuse, des notions de base de la théorie des probabilités. Il n'exige pas de pré-requis en théorie de la mesure et de l'intégration. Les outils d'analyse nécessaires à une bonne compréhension des objets probabilistes sont donnés au fur et à mesure de leur construction, mettant ainsi en lumière leur nécessité. Le corpus du livre va de la définition d'une probabilité au théorème de la limite centrale, avec de plus un dernier chapitre d'ouverture vers les processus aléatoires. A la fin de chaque chapitre sont donnés des exercices dont les corrections sont développées en fin de livre. Quelques textes d'examens sont également proposés et corrigés. Des simulations, proposées dans ce cours de l'Ecole polytechnique, peuvent accompagner la lecture de cet ouvrage et en illustrer la compréhension. Elles se trouvent à l'adresse http://www.cmapx.polytechnique.fr/-benaych/aleatoire\_index.html. Nous remercions en cela la participation de leur auteur Florent Benaych-Georges. Introduction......Page 7 Avant-propos......Page 8 Phénomènes aléatoires......Page 9 Conditionnement et indépendance......Page 10 Simulation de variables aléatoires......Page 11 Historique......Page 12 Expériences et événements......Page 15 Probabilité - Premières propriétés......Page 19 Définition......Page 21 Modèles d'urnes......Page 23 Les ensembles dénombrables......Page 28 Tribu......Page 29 Définition d'une probabilité......Page 31 Probabilités sur un espace dénombrable......Page 34 Loi d'une variable aléatoire......Page 35 Probabilités conditionnelles......Page 38 Indépendance......Page 41 Le lemme de Borel-Cantelli......Page 44 Exercices sur le chapitre 2......Page 46 Prérequis : quelques résultats utiles sur les séries......Page 49 Variables aléatoires discrètes......Page 51 Définition......Page 52 Propriétés de l'espérance des variables aléatoires discrètes......Page 54 Variance et écart-type......Page 55 Un résultat fondamental - Moments d'une variable al”éatoire......Page 57 Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs entières......Page 58 Variable aléatoire de Bernoulli......Page 60 Variable aléatoire binomiale......Page 61 Probabilité de succès et variable aléatoire géométrique......Page 63 Variable aléatoire de Poisson......Page 64 Lois conditionnelles......Page 66 Espérance conditionnelle......Page 68 Variables aléatoires indépendantes......Page 70 Somme de variables aléatoires indépendantes......Page 72 Exercices sur le chapitre 3......Page 74 Les variables aléatoires réelles......Page 79 Fonction de répartition......Page 81 Variables aléatoires de loi à densité......Page 85 Variable aléatoire uniforme sur [0,1] et générateurs de nombres aléatoires......Page 88 Simulation d'une variable aléatoire par inversion de la fonction de répartition......Page 89 Définition......Page 90 Variance et Covariance......Page 94 Approximation linéaire......Page 96 Calculs d'espérances dans le cas avec densité......Page 97 Variable aléatoire uniforme sur [a,b]......Page 98 Variable aléatoire exponentielle......Page 99 Variable aléatoire de loi gamma......Page 102 Variables aléatoires normales (ou variables gaussiennes)......Page 103 Inégalité de Bienaymé-Chebyshev......Page 108 Inégalité de Jensen......Page 109 Vecteurs aléatoires......Page 110 Vecteurs aléatoires......Page 112 Moments d'un vecteur aléatoire......Page 113 Densités marginales et conditionnelles......Page 114 Indépendance de deux variables aléatoires......Page 118 Suite de variables aléatoires indépendantes......Page 120 Un théorème d'identification......Page 122 Recherche de densité......Page 123 Inversion de la fonction de répartition......Page 127 Méthode du rejet......Page 128 Exercices sur le chapitre 4......Page 131 Convergences et loi des grands nombres......Page 137 Convergences de variables aléatoires......Page 138 La loi des grands nombres......Page 143 Méthode de Monte-Carlo......Page 147 Exercices sur le chapitre 5......Page 149 Définition et premières propriétés......Page 153 Exemples......Page 155 Propriété fondamentale......Page 157 Somme de vecteurs aléatoires indépendants......Page 159 Fonction caractéristique et moments......Page 160 Vecteurs gaussiens......Page 161 Convergence en loi......Page 164 Le théorème de la limite centrale......Page 168 Exercices sur le chapitre 6......Page 172 Statistique......Page 175 Estimation ponctuelle......Page 176 Qualités d'un estimateur......Page 178 Estimateurs empiriques......Page 181 Méthode des moments......Page 186 Maximum de vraisemblance......Page 188 Intervalle de confiance et estimation......Page 192 Intervalles exacts pour le modèle gaussien......Page 195 Résultats asymptotiques......Page 203 Tests et erreurs......Page 208 Modèle gaussien......Page 211 Test du 2 (test du chi-deux)......Page 213 Exercices sur le chapitre 7......Page 222 Modèles dynamiques aléatoires......Page 227 Marche aléatoire......Page 228 Somme aléatoire de variables aléatoires indépendantes......Page 232 Processus de branchement......Page 234 Percolation sur un arbre......Page 239 Un modèle simple en temps discret......Page 241 Stabilité: étude analytique......Page 243 Probabilités de transition......Page 246 Stabilité......Page 249 Exercices sur le chapitre 8......Page 250 Corrigés des exercices du chapitre 2......Page 255 Corrigés des exercices du chapitre 3......Page 260 Corrigés des exercices du chapitre 4......Page 265 Corrigés des exercices du chapitre 5......Page 271 Corrigés des exercices du chapitre 6......Page 274 Corrigés des exercices du chapitre 7......Page 278 Corrigés des exercices du chapitre 8......Page 287 Textes et corrigés d'examens......Page 293 Bibliographie......Page 318 Index......Page 323