Abenteuer Mathematik: Brücken zwischen Wirklichkeit und Fiktion, 5. Auflage

Nicht Mathematik zu betreiben, sondern zu erfahren ist das Abenteuer, das dieses Buch bietet – Denkexpeditionen, deren Ausgangspunkt Fragen sind: Was steckt hinter mathematischen Fiktionen wie den unendlich vielen Stufen des Unendlichen oder dem Letzten Fermatschen Satz? Worin liegt ihre Schönheit, worin ihr Bezug zur Realität? Welchen Köpfen sind solche Ideen entsprungen, welche Schicksale mit ihnen verbunden? Das Buch wurde für die vorliegende 5. Auflage vollständig durchgesehen und aktualisiert. Cover......Page 1 Abenteuer Mathematik, 5. Auflage......Page 4 ISBN 9783827428844......Page 5 Inhalt......Page 6 Prolog......Page 10 Das Spiel und seine Elemente......Page 15 Mathematik, Kunst und Wirklichkeit......Page 19 Abstraktion ist Vereinfachung ... bis zur Karikatur......Page 21 Verstehen wir, was »verstehen« bedeutet?......Page 24 0 Menschenverstand, Logik und Beweis......Page 28 Ein paar Zutaten: Aussagen......Page 29 Spezifi kationen namens Quantoren......Page 36 Ein paar Rezepte: Beweise......Page 40 Sätze als Implikationen: Beweisspielarten......Page 43 Wie man sich hoffnungslos verbeißt......Page 48 Ratschläge eines berufenenMathematikers......Page 51 Endlicher Beweis unendlich vieler Aussagen......Page 52 Der »Satz vom Affen«......Page 56 Damit begann die Bescherung......Page 60 Primzahlen: die erste unendliche Geschichte......Page 62 Das Vermächtnis des professionellen Amateurs......Page 70 Fermatisten, Goldbachvermuter, Primzwillingsforscher......Page 77 Großjagd auf Monster......Page 79 Faktorisieren: beliebig viele, beliebig harte Nüsse......Page 83 Die Kryptologie und ihre Falltüren......Page 84 2 Brücken ins Unendliche......Page 90 Die einfachste, natürliche Unendlichkeit......Page 92 Das Unendliche zwischen Genie und Wahn......Page 98 Kritiker und Bewunderer......Page 101 Die Beweise......Page 102 Die Durchnummerierung der Brüche......Page 103 Mehr als unendlich viele......Page 105 Algebraische und »transzendente« Zahlen......Page 106 Was ist die Potenzmenge einer Menge?......Page 107 Die genaue Frage und Cantors Satz......Page 110 Die Kontinuumhypothese......Page 114 Ist logische Stimmigkeit alles?......Page 116 Gibt es verschiedene Kategorien von Mathematik?......Page 118 Unendlichkeit im Kleinen......Page 120 Der letzte Akt......Page 126 Schule: zuerst keine, dann einelangweilige......Page 128 Die Anfänge des spielerischen Erforschens......Page 130 Widrige Wechselfälle oder Mister Murphy was here ......Page 133 Das Vermächtnis des Duellanten......Page 140 Symmetrien und Gruppen......Page 141 Die Gestalt der Lösungsmenge einer Gleichung......Page 146 Galois’ Rezept – das MatrjoschkaPrinzip......Page 149 Blick durch das aufgestoßene Tor......Page 152 Wie die Geometrien unter einen Hut kamen......Page 153 Von der Geometrie zur Physik .........Page 155 Ein paar unkomplizierte Exemplare ausdem Gruppenzoo......Page 156 »Einfach« ist nicht leicht......Page 158 Der Marathonbeweis und das Monster......Page 160 4 Zufall, Glück und Chaos......Page 166 Die Entstehungsphase der Wahrscheinlichkeitsrechnung......Page 167 Frühe Anwendungen in den Natur-und Wirtschaftswissenschaften......Page 171 Die Axiomatisierung: Beginn der modernen Wahrscheinlichkeit......Page 173 Die Gewissheit des Zufalls oder Das Gedächtnis der Roulettekugel......Page 178 Fehlender Ausgleich, Unempfi ndlichkeit, Impotenz......Page 180 Fortuna kontra Nemesis oder Die fundamentale Ungerechtigkeit der Natur......Page 181 Determinismus, Berechenbarkeit, Vorhersagbarkeit, Komplexität......Page 185 Chaos und Fröhlichkeit......Page 189 Der Zufall im Roulette und seine –– partielle – Zähmung ......Page 193 Wahrscheinlich, glaubwürdig, plausibel: Kategorien der Ungewissheit......Page 197 Ungewissheiten graduell defi nierenund verknüpfen......Page 200 Außerirdische Intelligenzen?......Page 205 Grade der Zufälligkeit: feiner als Wahrscheinlichkeiten......Page 211 5 Basar des Bizarren......Page 216 Die Seele des Gebildes......Page 217 Millionen konkreter Sachverhalte untereinem Hut – drei Beispiele......Page 220 Topologische Strukturgleichheit......Page 223 Eine kleine Vorgeschichte......Page 226 Mannigfaltigkeiten und die Poincaré-Vermutung......Page 231 Mannigfaltigkeiten und ihreMikrostruktur......Page 232 Die Poincaré-Vermutung......Page 234 Als ob eine Differenzialrechnung nichtschon genug wäre .........Page 236 Perelman beweist Poincaré-Vermutung......Page 239 Die Euler’sche Polyeder-Formel......Page 227 Gebilde, Löcher, Henkel und dasGeschlecht eines Knopfes......Page 228 Das Vierfarbenproblem......Page 241 Der erste mathematische Beweis dankComputerhilfe......Page 248 Wann ist ein Beweis ein Beweis?......Page 249 Die Evolution der Ästhetik derMathematik......Page 250 6 Ja, mach nur einen Plan .........Page 254 Beispiel 1: Wenn meistens alles glatt läuft –lineare Programmierung......Page 256 Weitere Beispiele – ganzzahlige Optimierung......Page 280 Das Rucksackproblem......Page 281 Das Rundreiseproblem......Page 282 »Branch and bound« oder »Teileund herrsche«......Page 283 Das Steiner-Problem......Page 284 Beispiel 2: Banales kann kniffl ig sein – dasStundenplanproblem......Page 261 Beispiel 4: Vernetzte Ablaufplanung –Netzplantechniken......Page 264 Beispiel 5: Dezentrales Instrument fürunsere Umwelt – Petri-Netze......Page 267 Beispiel 6: Keine Erfi ndung der ZentralenPlanwirtschaft – Warteschlangen......Page 271 Beispiel 7: Mehrstufi ge Entscheidungen –dynamische Programmierung......Page 274 Beispiel 8: Wie fi ndet man oder frau denTraumpartner?......Page 278 Komplexität – algorithmisch gesehen......Page 286 Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung......Page 290 7 Das Gefangenendilemma......Page 294 Knobeln......Page 296 Das Offenbarungsspiel......Page 299 Das Chicken Game......Page 300 Das Gefangenendilemma(Prisoner’s Dilemma)......Page 301 Gleichgewicht – der rote Faden......Page 303 Minimax-Denken: vorsichtigerZweckpessimismus......Page 304 Das Gleichgewichtstheorem fürBaumspiele......Page 308 Black Jack: Ein (fast) faires Casinospiel......Page 311 Das Gleichgewichtstheorem fürnichtkooperative Spiele......Page 317 Evolutionäre Spieltheorie und Kooperation......Page 321 Eskalieren oder Nachgeben?......Page 322 Evolutionsstabile Strategien undAsymmetrien......Page 324 Das Gefangenendilemma (kurzeErinnerung)......Page 326 Wiederholung: Zauber und Zwang......Page 328 Tit For Tat oder das wiederholteGefangenendilemma......Page 330 Noch einmal Tit For Tat oder DieFortsetzung des wiederholtenGefangenendilemmas......Page 333 Tit For Tat Superstar – eine einfacheevolutionäre Variante der tausendfachenFortsetzung des wiederholtenGefangenendilemmas......Page 334 Die Tragödie der Allmende 16......Page 337 Angewandte Spieltheorie: illusorischer Nutzen?......Page 338 Gemeinsame Wurzeln des Verhaltens inÖkonomie und Biologie......Page 339 Kritik der reinen Rationalität......Page 340 Mathematik: nur ein Aspekt imkonzertierten Erkenntnisbild......Page 344 »Dieser Satz ist falsch«: Selbstreferenz......Page 346 Selbstreproduktion – natürlich künstlich......Page 350 Absolutismen und Superlogik:Fehlanzeige......Page 352 Der Traum vieler Sozialphilosophen:futsch......Page 355 Ist die Welt nun mathematisch?......Page 357 Ein letzter Rückblick......Page 362 Anmerkungen......Page 366 Literatur......Page 390 Index......Page 400