A mathematical gift, 3, interplay between topology, functions, geometry, and algebra

هدیه‌ای ریاضی برای ذهن‌های کنجکاو: سفری در پیوند توپولوژی، هندسه و جبر. کتاب «هدیه‌ای ریاضی، جلد سوم» (A Mathematical Gift, III) نوشتهٔ کوجی شیگا و توشیکازو سونادا، یکی از ارزشمندترین آثار منتشرشده توسط انجمن ریاضی آمریکا است که ریاضیات جدی و پیشرفته را در قالبی زنده، صمیمی و خواندنی به مخاطب عرضه می‌کند. این کتاب که حاصل مجموعه سخنرانی‌هایی در دانشگاه کیوتو است، با بهره‌گیری از تمرین‌های متنوع و تصاویر گویا، پلی استوار میان مفاهیم انتزاعی و درک ملموس از زیبایی‌های ریاضیات می‌زند.

دربارهٔ کتاب «هدیه‌ای ریاضی، جلد سوم»

جلد سوم از مجموعهٔ «هدیه‌ای ریاضی» به کاوش در یکی از بنیادی‌ترین و جذاب‌ترین مفاهیم ریاضیات مدرن یعنی «خمینه» (Manifold) اختصاص دارد و در ادامه، به مبحث اندازه و حجم در هندسه می‌پردازد. این کتاب که در سال ۲۰۰۵ توسط انتشارات انجمن ریاضی آمریکا منتشر شده، تلاش می‌کند تا خواننده را با مفاهیمی چون پیوستگی، مشتق‌پذیری و تحلیلی بودن توابع، ایدهٔ مختصات محلی و تبدیلات مختصاتی، و همچنین قضیهٔ مشهور «گنجانش ویتنی» (Whitney embedding theorem) آشنا کند و دریچه‌ای به دنیای پیچیدهٔ توپولوژی بگشاید. در فصل دوم، مباحث به حوزهٔ شهودی‌تری چون مساحت اشکال در صفحه و حجم اجسام در فضا معطوف می‌شود و اثبات‌های بدیعی برای قضیهٔ «بولیای-گروین» دربارهٔ چندضلعی‌های هم‌نهشت با برش، و همچنین راه‌حل «دِن» برای سومین مسئلهٔ مشهور هیلبرت ارائه می‌شود. سبک نگارش این کتاب، آن را از یک متن صرفاً دانشگاهی به اثری لذت‌بخش و انگیزشی تبدیل کرده است. مؤلفان با زبانی روان و غیررسمی، مفاهیم عمیق را به گونه‌ای توضیح می‌دهند که هم برای دانش‌آموزان دبیرستانی پیشرفته قابل درک باشد و هم برای محققان و ریاضیدانان حرفه‌ای جذاب و نوآورانه است. گفتنی است که این جلد سوم، ادامهٔ جلدهای اول و دوم این مجموعه است که به ترتیب به مباحثی چون ویژگی‌های اویلر، قضیهٔ گاوس-بونه و توابع بیضوی پرداخته‌اند و در کنار یکدیگر، تصویری جامع از برهم‌کنش شاخه‌های گوناگون ریاضیات ارائه می‌دهند.

دربارهٔ نویسنده

نویسندگان این کتاب، دو ریاضیدان برجستهٔ ژاپنی هستند. کوجی شیگا (Koji Shiga) متولد ۱۹۳۰، ریاضیدانی است که در دانشگاه تویین یوکوهاما فعالیت داشته و سابقهٔ تألیف آثار متعددی در زمینهٔ ریاضیات دارد. توشیکازو سونادا (Toshikazu Sunada) متولد ۱۹۴۸، استاد بازنشستهٔ دانشگاه‌های توهوکو و میجی و از چهره‌های شاخص ریاضیات ژاپن در حوزهٔ هندسهٔ طیفی و تحلیل گسسته است. او جوایز متعددی از جمله جایزهٔ «ایواناگا» انجمن ریاضی ژاپن در سال ۱۹۸۷ و جایزهٔ «کودایرا کونیهیکو» در سال ۲۰۱۹ را کسب کرده است. سونادا به دلیل کشف و ارائهٔ ساختار بلوری معروف به «بلور کی‌فور» که تنها هم‌خویشاوند ریاضیاتی الماس است، در میان ریاضیدانان و حتی شیمیدانان شناخته شده است. شایان ذکر است که جلد سوم این مجموعه توسط «ایکو تایلر» به انگلیسی ترجمه شده است.

چرا باید «هدیه‌ای ریاضی، جلد سوم» را بخوانید؟

• درک عمیق از مفاهیم بنیادین هندسه و توپولوژی: با مطالعهٔ این کتاب، دانش خود را از مفاهیم کلیدی مانند خمینه، هم‌نهشتی با برش (Scissors Congruence) و قضایای بنیادینی مانند قضیهٔ گنجانش ویتنی به سطحی جدید ارتقا دهید.
• کشف پیوندهای شگفت‌انگیز میان شاخه‌های مختلف ریاضیات: کتاب به روشنی نشان می‌دهد که چگونه ایده‌های توپولوژی، هندسه و جبر در هم تنیده شده و مسائل عمیقی را حل می‌کنند؛ از جمله آشنایی با راه‌حل دِن برای مسئلهٔ سوم هیلبرت.
• آشنایی با تاریخچه و کاربردهای جذاب نظریه‌ها: مباحثی چون پارادوکس باناخ-تارسکی و پرسش معروف «آیا می‌توان صدای طبل را شنید؟» در این کتاب به شکلی جذاب و قابل‌فهم روایت شده‌اند که نشان از عمق و جذابیت ریاضیات دارد.
• تجربهٔ مطالعه‌ای متفاوت و غیررسمی از ریاضیات پیشرفته: این کتاب با زبانی صمیمی و به دور از خشکی متون رسمی، برای دانش‌آموزان، معلمان و دانشجویان علوم و علوم انسانی که به دنبال لذت بردن از ریاضیات هستند، یک هدیهٔ واقعی است.

این کتاب برای چه کسانی مناسب است؟

این کتاب برای طیف وسیعی از علاقه‌مندان به ریاضیات طراحی شده است. دانش‌آموزان دبیرستانی با استعداد ریاضی که به دنبال چالش‌های جدی‌تر هستند، معلمان ریاضی که به دنبال منابع الهام‌بخش برای تدریس مفاهیم پیشرفته‌تر می‌گردند، دانشجویان رشته‌های علوم پایه و حتی محققان و متخصصان حوزه‌های مرتبط با ریاضیات، همگی می‌توانند از مطالعهٔ این کتاب بهره‌مند شوند. همچنین این کتاب برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی که برای اولین بار با توپولوژی و هندسهٔ مدرن آشنا می‌شوند، منبعی ایده‌آل برای مطالعات مستقل و کارگاه‌های تابستانی به شمار می‌آید.

سوالات متداول

آیا برای درک این کتاب به دانش ریاضی بالایی نیاز است؟

خیر، نویسندگان کتاب را به گونه‌ای نوشته‌اند که برای دانش‌آموزان دبیرستانی پیشرفته نیز قابل درک باشد و با زبانی غیررسمی و با کمک تصاویر بسیار، مفاهیم را توضیح داده‌اند. با این حال، داشتن آشنایی مقدماتی با ریاضیات دانشگاهی می‌تواند به درک بهتر لایه‌های عمیق‌تر کتاب کمک کند.

آیا این کتاب صرفاً جنبهٔ نظری دارد؟

خیر، کتاب علاوه بر مفاهیم نظری، به اثبات قضایای مهمی مانند قضیهٔ ویتنی و قضیهٔ بولیای-گروین می‌پردازد و همچنین با طرح مباحثی چون پارادوکس باناخ-تارسکی، جنبه‌های شهودی و تاریخی ریاضیات را نیز پوشش می‌دهد.

آیا برای مطالعهٔ جلد سوم، نیاز به خواندن جلدهای اول و دوم است؟

هرچند هر جلد از این مجموعه به موضوعات مستقل و جذابی می‌پردازد و می‌توان آن را به صورت مجزا مطالعه کرد، اما برای درک کامل‌تر از سیر کلی مباحث و برهم‌کنش موضوعات، مطالعهٔ جلدهای پیشین نیز توصیه می‌شود، چرا که نگاه جامعی به ارتباط میان توپولوژی، توابع، هندسه و جبر ارائه می‌دهند.

This book brings the beauty and fun of mathematics to the classroom. It offers serious mathematics in a lively, reader-friendly style. Included are exercises and many figures illustrating the main concepts. The first chapter talks about the theory of manifolds. It includes discussion of smoothness, differentiability, and analyticity, the idea of local coordinates and coordinate transformation, and a detailed explanation of the Whitney imbedding theorem (both in weak and in strong form). The second chapter discusses the notion of the area of a figure on the plane and the volume of a solid body in space. It includes the proof of the Bolyai–Gerwien theorem about scissors-congruent polynomials and Dehn's solution of the Third Hilbert Problem. This is the third volume originating from a series of lectures given at Kyoto University (Japan). It is suitable for classroom use for high school mathematics teachers and for undergraduate mathematics courses in the sciences and liberal arts. The first and second volumes are available as Volume 19 and Volume 20 in the AMS series, Mathematical World. "This book brings the beauty and fun of mathematics to the classroom. It offers serious mathematics in a lively, reader-friendly style. Included are exercises and many figures illustrating the main concepts. The first chapter talks about the theory of manifolds. It includes discussion of smoothness, differentiability, and analyticity, the idea of local coordinates and coordinate transformation, and a detailed explanation of the Whitney imbedding theorem (both in weak and in strong form). The second chapter discusses the notion of the area of a figure on the plane and the volume of a solid body in space. It includes the proof of the Bolyai-Gerwien theorem about scissors-congruent polynomials and Dehn's solution of the Third Hilbert Problem. This is the third volume originating from a series of lectures given at Kyoto University (Japan). It is suitable for classroom use for high school mathematics teachers and for undergraduate mathematics courses in the sciences and liberal arts."--Book jacket This is the first of three volumes originating from a series of lectures in mathematics for high school students, given by professors of Kyoto University in Japan. The main purpose of the lectures was the show students the beauty of mathematics using material that is accessible to people with little preliminary knowledge. A chapter on topology contains three lectures on the Euler characteristics, vortices created by winds, and curvature of the surface. Three lectures on dimension address the Peano curve, Poincare's approach, and three-dimensional manifolds. The book was originally published in Japanese in 1995 by Iwanami Shoten, Publishers, Tokyo, Japan. There is no subject index. Annotation : 2004 Book News, Inc., Portland, OR (booknews.com) "Intended to inspire classroom teachers, this book includes exercises and a number of figures to use in explaining concepts. Topics include the theory of manifolds, including descriptions of smoothness, differentiability and analyticity, the area of a figure on the plane and the volume of a solid body in space including proof of the Bolyai- Gerwein theorem about scissors-congruent polynomials and Dehn's solution of the Third Hilbert Problem. Although written for high school teachers to aid them with their lessons, this can also serve as a self-study guide or for general reading on the subjects." -- Publisher Kenji Ueno, Koji Shiga, Shigeyuki Morita ; Translated By Eiko Tyler. Includes Bibliographical References. When visiting a bookstore, have you ever picked up a math book and glanced through the pages?