大学数学 スポットライト・シリーズ 10 群のコホモロジー

[大学数学 スポットライト・シリーズ 10]群のコホモロジー, 佐藤隆夫, 2022, 183p, 近代科学社, 4764906503 表紙 目次 1 群上の加群 1.1 G 加群の定義 1.2 G 自由加群 1.3 G 加群のテンソル積 1.4 G 準同型写像のなす加群 1.5 問題 2 群の(コ)ホモロジー 2.1 群の自由分解と(コ)ホモロジー群の定義 2.2 自由分解の存在 2.3 (コ)ホモロジー群の定義の整合性 2.4 特別な自由分解を用いる方法 2.4.1 自由群 2.4.2 巡回群 2.5 問題 3 1次元(コ)ホモロジーの計算 3.1 整係数1 次元ホモロジー群 3.2 1 次元コホモロジー群の計算 3.3 問題 4 群準同型写像と(コ)ホモロジー 4.1 群準同型写像から誘導された写像 4.2 包含写像,商写像から誘導された写像 4.3 群の拡大と群の(コ)ホモロジー 4.3.1 共役作用 4.3.2 2 次元コホモロジー群 4.3.3 反則準同型写像 4.3.4 5 項完全系列 4.4 問題 5 2次元コホモロジーの計算 5.1 2 次元コホモロジーの組み合わせ群論的解釈 5.2 有限巡回群の直積の場合 5.3 面体群の場合 5.4 PSL(2, Z) の場合 5.5 問題 6 G 準同型写像と(コ)ホモロジー 6.1 G 準同型写像から誘導された写像 6.2 群の(コ)ホモロジーの長完全系列 6.2.1 分裂完全系列 6.2.2 自由加群のテンソル積とHom 6.2.3 群のホモロジーの長完全系列 6.2.4 群のコホモロジーの長完全系列 6.3 Shapiro の同型とトランスファー写像 6.4 問題 7 カップ積 7.1 直積群の自由分解 7.2 クロス積 7.3 カップ積 7.4 問題 8 普遍係数定理 8.1 Tor とExt 8.2 (コ)チェイン複体の完全系列 8.3 Künneth の公式 8.4 普遍係数定理 8.5 問題 参考文献 索引 奥付 秋田利之 『群のコホモロジー覚え書き』 (2022127版) はじめに 記号など 情報源 本 ネットでの情報源 Brownの読み方 歴史 定義について 分類空間 Eilenberg-MacLane空間 性質 代数的な定義 低次の(コ)ホモロジー Hopfの定理 計算例 Schur multiplier 決定不可能性 中心拡大 普遍中心拡大 Schur cover (Schur covering group) 完全群の被覆 superperfect group 完全系列 Bockstein準同型 5項完全系列 Stallings完全系列 融合積のMayer-Vietoris完全系列 Gysin完全系列の一種 有限群の(コ)ホモロジー 計算機の利用 有限群の整数係数コホモロジー環 Fusion system Mackey functor TransferとGysin準同型 Gysin準同型 群論におけるtransfer Becker-Gottlieb transfer 乗法的transfer 分岐被覆のtransfer Character theoretic transfer スペクトル系列 Lyndon-Hochschild-Serreスペクトル系列 Lerayスペクトル系列 Mayer-Vietoris完全系列 Eilenberg-Mooreスペクトル系列 Bocksteinスペクトル系列 Atiyah-Hirzebruchスペクトル系列 その他 ホモロジー安定性 representation stabilityとFI-module Crossed module 線型表現の特性類 整数係数Grothendieck-Riemann-Roch定理 Adams作用素との関係 離散群の有理表現のChern類 Transferred Euler class, Chern subring, Mackey closure Stiefel-Whitney類 モジュラー表現の特性類 コサイクルの構成 Finiteness conditions Duality groups 群のEuler数 Hattori-Stallings rank Growth series Homological Sylow theorem (Virtual) signature Quillenの仕事 The spectrum of an equivariant cohomology ring MR0298694 Adams予想 代数的K理論に関連した結果 Extraspecial p-group ホモロジー安定性 部分群のposet Free resolution Free resolutionの一意性とchain mapの構成 同変コホモロジー 同変Euler数 TateコホモロジーとFarrellコホモロジー Tateコホモロジー Farrellコホモロジー 相対(コ)ホモロジー Wreath product Stallingsの定理 Kan-Thurstonの定理 Chow ring 対称群のコホモロジー その他の個別の群のコホモロジー 交代群 GL(n,Z) ブレイド群 Coxeter群 Artin群 RAAG One-relator group 冪零群 数論的群, 写像類群, 自由群の自己同型群 Knot groupとlink group 3-manifold group Fox微分 Aspherical多様体 K(,1) arrangementの補空間 結晶群 Vanishing range Deficiency p-periodとYagita invariant p-period Yagita invariant その他ホモトピー論に関わる話題 コンパクトLie群の分類空間 Lie groups made discrete 一般コホモロジー Bordism Massey product Operad 分類空間の安定ホモトピー論 他分野との関わり 微分幾何 整数論 変換群論 Hochschildホモロジーと巡回ホモロジー Rackとquandle 物理学 Dijkgraaf-Witten不変量 その他の話題 Shapiroの補題 Homological perturbation theory (Discrete) Morse theory トロピカル幾何 Groupoid, monoid, small category Persistent homology 最後に 群コホモロジーの授業ノート(2017),野坂武史(東京工業大学理学院数学系) 目次 1 導入 2 非斉次座標での群(コ) ホモロジーの定義. 2.1 低次かつ自明係数の場合 2.2 (非斉次座標での) 群ホモロジーの定義. 2.3 カップ積. 2.4 余談:1 次コホモロジーとOut(G). 3 射影分解による群コホモロジーの定義. 3.1 自由分解による定義. 3.2 具体的な群に対する自由分解の例. 3.3 導来関手. ボクシュタイン作用素. 4 群コホモロジーのトポロジカルな解釈 4.1 復習:基本群, CW複体, 被覆空間. 4.2 胞体ホモロジーと局所系係数ホモロジーの速成的復習 4.3 K(G; 1)-空間の構成 4.4 K(G; 1)-空間の具体例 5 5完全列. 5.1 Hopf の定理 5.2 Stalling の定理 5.3 完全群上の普遍中心拡大 5.4 補足: 5完全列の誘導射と共役作用について 5.5 付録2: Ganea 写像 5.6 付録3: 射影表現の持上げと、普遍被覆群\widetilde{SL2(F)} 6 Fox 微分とその応用 6.1 Fox 微分の定義と基本性質 6.2 多変数のFox 微分とMagnus 展開 6.3 有限表示群からのヤコビ行列。陰関数定理 6.4 群表示から短完全列表示 6.5 Lyndon 完全列の位相的解釈 6.6 Hopf の定理再考:関係子からサイクルへ 7 誘導表現とシャピロの補題とトランスファー 7.1 誘導表現のホモロジー変換とその諸性質 7.2 Eckerman-Shapiro の補題 7.3 トランスファーの定義 7.4 トランスファーの性質 7.5 有限群のコホモロジーの計算方針(向学者むけ) 8 カップ積. 8.1 クロス積とカップ積の定義 8.2 アーベル群のホモロジーと、Pontryagin 積. 8.3 有限表示群に対する小射影分解と、カップ積. 9 Wreath 積(輪積) のコホモロジー. 9.1 定理9.5 の証明 9.2 Evens のノルム写像(乗法的トランスファー) 9.3 群コホモロジー上のSteenrod 作用素. 10 冪零群と高次マッセイ積. 10.1 三重マッセイ積. 10.2 復習:高次マッセイ積. 10.3 自由群の冪零商の場合. 10.4 関係子とマッセイ積(Fenn-Sjerve の定理) 10.5 ミルナー不変量とマッセイ積 10.6 Johnson 準同型とマッセイ積 11 スベクトル系列 11.1 スペクトル系列の大まかな説明 11.2 群コホモロジーで使われるスベクトル系列 11.3 二重複体とハイパーホモロジーの概略 11.4 G-同変ホモロジー 11.5 応用例1:Evens-Venkov と、Quillen-Venkov の定理 11.6 応用例2:Evens の定理の証明 11.7 応用例3:Lefschetz 束の符号数とMayer コサイクル 12 Dickson 代数, 不変式論, 特性類との関連 12.1 お話し: C上リー群と随伴表現の場合. 12.2 Fp上のDickson 代数. 13 安定性定理. (メモに近い) 13.1 証明方針1; Hatcher-Wahl[HW] に基づいて 13.2 証明方針2; 直交群の場合 14 コホモロジー作用素 14.1 コホモロジー作用素と対称群の関係 14.2 巡回群の場合. Steenrod の公理について 14.3 対称群のホモロジーに関するメモ 15 オイラー標数 15.1 複体の射影的長さ 15.2 オイラー標数 16 閉3 次元多様体の基本類 16.1 一般論 16.2 Dijkgraaf-Witten 不変量 16.3 恒等子による基本3 類の表示 17 Scissors congruence 17.1 Scissors congruence の導入 17.2 Bloch 群との関連 17.3 双曲Scissors congruence との関連 18 Chern-Simons 類, 不変形式, 拡大Bloch 群, 2 重対数 18.1 主G 束の分類空間と、単体的多様体の微分形式 18.2 Chern-Weil 理論による(1次) 特性類の考察 18.3 Chern-Simons 類の概説 18.4 Dupont による構成法 18.5 拡大Bloch 群とDilogarithm A 高校の微積分感覚で計算出来るコホモロジーの例 B コホモロジー群・環の例 B.1 Lie 型有限群のコホモロジー群の例(工事中) C 結び目群の群ホモロジー(専門家向き) 参考文献 A-C C-H H-M M-S S-Z 奥山哲郎, 佐々木洋城, 飛田明彦, 有限群のコホモロジー論, 数学62 (2010), no. 2, 240–266 1 はじめに 2 コホモロジー環と加群 3 べき等加群 4 フュージョンとコホモロジー 5 p-群の群環上のendotrivial 加群 6 Cohomology is representation theory 注釈 文献 [20] [57] [95]